鲁教版九下教案5.3 垂径定理

*5.3垂径定理教学目标(一)教学知识点1．圆的轴对称性．2．垂径定理及其逆定理．3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．(二)能力训练要求1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．2．培养学生独立探索，相互合作交流的精神．(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂径定理及其逆定理．教学难点垂径定理及其逆定理的证明．教学方法指导探索和自主探索相结合．教学过程I．创设问题情境，引入新课，[师]前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性．Ⅱ．讲授新课下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：(1)在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．(2)得到一条折痕CD．6/6 (3)在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．(4)将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图.[师]老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)[师]通过第一步，我们可以得到什么?[生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．[师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?[生]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.[师]为什么呢?[生]因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合．[师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?[师生共析]如右图示，连接OA、OB得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论?[生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在Rt△OAM和Rt△OBM中，∵OA=OB，OM＝OM，6/6 ∴Rt△OAM≌Rt△OBM，∴AM＝BM．∴点A和点B关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD[师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：如上图，在⊙O中，AM=BM，CD是直径弧AD=弧BD，CD⊥AB于M弧AC=弧BC.下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：[例1]如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．[师生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以CF＝CD＝300cm，OF＝OE-EF，此时就得到了一个Rt△CFO，哪位同学能口述一下如何求解?[生]连结OC，设弯路的半径为Rm，则OF＝(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF＝CD=×600＝300(m)．据勾股定理，得6/6 OC2＝CF2+OF2，即R2＝3002+(R-90)2．解这个方程，得R＝545．∴这段弯路的半径为545m．[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．随堂练习：P16．1．略下面我们来想一想如下图示，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．[师]右图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?[生]它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线．[师]很好，你是用什么方法验证上述结论的?大家互相交流讨论一下，你还有什么发现?[生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦AB，将圆对折，使点A与点D重合，便得到一条折痕CD与弦AB交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD[师]大家想想还有别的方法吗?互相讨论一下．[生]如上图，连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA＝OB，又AM＝MB，即M点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．[师]在上述的探讨中，你会得出什么结论?[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”?[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．[师]同学们，你能写出它的证明过程吗?6/6 [生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．在等腰△OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD[师]接下来，做随堂练习：P1622．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?答：相等．理由：如右图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理，设弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．Ⅲ．课时小结1．本节课我们利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．2．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．Ⅳ．课后作业课本P16，习题5.4Ⅴ．活动与探究1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?[过程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．6/6 [结果]如右图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．6/6