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鲁教版九下教案5.3 垂径定理

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*5.3垂径定理教学目标(一)教学知识点1.圆的轴对称性.2.垂径定理及其逆定理.3.运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.(二)能力训练要求1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索,相互合作交流的精神.(三)情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.教学重点垂径定理及其逆定理.教学难点垂径定理及其逆定理的证明.教学方法指导探索和自主探索相结合.教学过程I.创设问题情境,引入新课,[师]前面我们已探讨过轴对称图形,并且通过折叠研究出圆是轴对称图形,今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性.Ⅱ.讲授新课下面我们一起来做一做:按下面的步骤做一做:(1)在一张纸上任意画一个⊙O,沿圆周将圆剪下,把这个圆对折,使圆的两半部分重合.(2)得到一条折痕CD.6/6 (3)在⊙O上任取一点A,过点A作CD折痕的垂线,得到新的折痕,其中,点M是两条折痕的交点,即垂足.(4)将纸打开,新的折痕与圆交于另一点B,如上图.[师]老师和大家一起动手.(教师叙述步骤,师生共同操作)[师]通过第一步,我们可以得到什么?[生齐声]可以知道:圆是轴对称图形,过圆心的直线是它的对称轴.[师]很好.在上述的操作过程中,你发现了哪些相等的线段和相等的弧?[生]我发现了,AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.[师]为什么呢?[生]因为折痕AM与BM互相重合,A点与D点重合.[师]还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系?[师生共析]如右图示,连接OA、OB得到等腰△OAB,即OA=OB.因CD⊥AB,故△OAM与△OBM都是Rt△,又OM为公共边,所以两个直角三角形全等,则AM=BM.又⊙O关于直径CD对称,所以A点和B点关于CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合.因此AM=BM,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD.[师]在上述操作过程中,你会得出什么结论?[生]垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.[师]同学们总结得很好.这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理.在这里注意:①条件中的“弦”可以是直径.②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦.下面,我们一起看一下定理的证明:(教师边板书,边叙述)如上图,连结OA、OB,则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,6/6 ∴Rt△OAM≌Rt△OBM,∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧BD重合.∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD[师]为了运用的方便,不易出现错误,易于记忆,可将原定理叙述为:一条直线若满足:(1)过圆心;(2)垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所对的优弧,③平分弦所对的劣弧.即垂径定理的条件有两项,结论有三项.用符号语言可表述为:如上图,在⊙O中,AM=BM,CD是直径弧AD=弧BD,CD⊥AB于M弧AC=弧BC.下面,我们通过求解例1,来熟悉垂径定理:[例1]如右图所示,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.[师生共析]要求弯路的半径,连结OC,只要求出OC的长便可以了.因为已知OE⊥CD,所以CF=CD=300cm,OF=OE-EF,此时就得到了一个Rt△CFO,哪位同学能口述一下如何求解?[生]连结OC,设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m,∵OE⊥CD,∴CF=CD=×600=300(m).据勾股定理,得6/6 OC2=CF2+OF2,即R2=3002+(R-90)2.解这个方程,得R=545.∴这段弯路的半径为545m.[师]在上述解题过程中使用了列方程的方法,用代数方法解决几何问题,这种思想应在今后的解题过程中注意运用.随堂练习:P16.1.略下面我们来想一想如下图示,AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直径CD,交AB于点M.[师]右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?[生]它是轴对称图形,其对称轴是直径CD所在的直线.[师]很好,你是用什么方法验证上述结论的?大家互相交流讨论一下,你还有什么发现?[生]通过折叠的方法,与刚才垂径定理的探索方法类似,在一张纸上画一个⊙O,作一条不是直径的弦AB,将圆对折,使点A与点D重合,便得到一条折痕CD与弦AB交于点M.CD就是⊙O的对称轴,A点、B点关于直径CD对称.由轴对称可知,AB⊥CD,弧AC=弧BC,弧AD=弧BD[师]大家想想还有别的方法吗?互相讨论一下.[生]如上图,连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB,即OA=OB,又AM=MB,即M点为等腰△OAB底边上的中线.由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB,又CD是⊙O的对称轴,当圆沿CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧BD重合.[师]在上述的探讨中,你会得出什么结论?[生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”?[生]因为圆的任意两条直径互相平分,但是它们不一定是互相垂直的.[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理.[师]同学们,你能写出它的证明过程吗?6/6 [生]如上图,连结OA、OB,则OA=OB.在等腰△OAB中,∵AM=MB,∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一).∵⊙O关于直径CD对称.∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,弧AC与弧BC重合,弧AD与弧BD重合.∴弧AC=弧BC,弧AD=弧BD[师]接下来,做随堂练习:P1622.如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?为什么?答:相等.理由:如右图示,过圆心O作垂直于弦的直径EF,由垂径定理,设弧AF=弧BF,弧CF=弧DF,用等量减等量差相等,得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF,即弧AC=弧BD,故结论成立.符合条件的图形有三种情况:(1)圆心在平行弦外,(2)在其中一条线弦上,(3)在平行弦内,但理由相同.Ⅲ.课时小结1.本节课我们利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.Ⅳ.课后作业课本P16,习题5.4Ⅴ.活动与探究1.银川市某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图所示,污水水面宽度为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,问修理人员应准备内径多大的管道?[过程]让学生在探究过程中,进一步把实际问题转化为数学问题,掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图,进而发展学生的思维.6/6 [结果]如右图示,连结OA,过O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于F,则AE=AB=30cm.令⊙O的半径为R,则OA=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2.解得R=50cm.修理人员应准备内径为100cm的管道.6/6

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2023-03-26 03:50:02 页数:6
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文章作者:U-344380

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