鲁教版九下课件5.3 垂径定理

3垂径定理 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？知识回顾 圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.情境引入 OACBNMD任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴任意一条直径都是圆的对称轴（） B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BE自主预习 ③AM=BM,垂径定理你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么ABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.题设结论新知探究 如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧 1、在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。E.ABO解：连接OA.过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE∵AB＝8厘米，∴AE＝4厘米在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米 MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC②MN⊥AB④弧AM=弧BM⑤弧AN=弧BN探索一：结论： OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。推论1.(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CD 你可以写出相应的命题吗?如图,在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.垂径定理的逆定理 CDABE例：平分已知弧AB已知：弧AB作法：⒈连接AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。求作：弧AB的中点画一画 你能破镜重圆吗？ABCmn·O作弦AB．AC及它们的垂直平分线m，n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆. 破镜重圆ABCmn·O弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。作图依据： 1、判断⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧()⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心()⑶圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分()⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧()⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√随堂练习 （6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)挑战自我填一填 (9)弦的垂直平分线一定是圆的直径.⑽平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.⑾弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E挑战自我填一填 3、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA.挑战自我做一做 垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心;(2)直线MN垂直AB;(3)直线MN平分AB;(4)直线MN平分弧AMB;(5)直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们课下不妨试一试.知识梳理