华师大版九下数学27.1.2第2课时垂径定理课件

27.1圆的认识第27章圆第2课时垂径定理2.圆的对称性 问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？情境引入 ·OABDPC问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段：AP=BP垂径定理及其推论弧：理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，和，与重合． 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.垂径定理·OABCDP垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件)归纳总结推导格式：∴AP=BP，(结论) 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOEABDCOEABOCDEOABC 垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOC归纳总结ABODC 如果把垂径定理(垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧)结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索 DOABEC举例证明其中一种组合方法.已知:求证：①CD是直径②CD⊥AB，垂足为E③AE=BE证明猜想④ 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD平分弦AB于点E.(1)CD⊥AB吗？为什么？(2)·OABCDE解：(1)连接AO、BO，则AO=BO.又∵AE=BE，∴∠AEO=∠BEO=90°.∴CD⊥AB.证明举例∴△AOE≌△BOE(SSS).(2)由垂径定理可得与相等吗？与相等吗？为什么？ 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论·OABCD圆的两条直径是互相平分的.归纳总结特别说明： 例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算二∴cm.典例精析 例2如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.·OABECD解：连接OA，∵CE⊥AB于D，∴设OC=xcm，则OD=x-2，根据勾股定理，得解得x=5.即半径OC的长为5cm.x2=42+(x-2)2， 证明：作直径MN⊥AB，如图.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则=，=（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.∴－=－.∴=.例3已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：=..MCDABON 解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.归纳总结 试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用 解得R≈27.3.即赵州桥主桥拱的半径约为27.3m.∴R2=(R-7.23)2+18.52，解：如图，过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交于点C，交弦AB于点D，则CD=7.23m.由垂径定理，得AD=AB=18.5m，设⊙O的半径为Rm.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.23，AD=18.5.由勾股定理，得 练一练：如图1、2，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm.C图2DCBOADOAB图12或12指弧中点到弦的距离 在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.方法归纳涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系ABCDOhrdd+h=rOABC· 1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为cm.52.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°，则弦AC=cm. D·OABCE3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB，∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°. 4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD相等吗？为什么？解：AC=BD.理由如下：过点O作OE⊥AB，垂足为E.则AE=BE，CE=DE.∴AE－CE=BE－DE，即AC=BD..ACDBOE方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法． 解：连接OC，如图.●OCDEF┗根据勾股定理，得5.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的，点O是的圆心)，其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.则OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).设这段弯路的半径为Rm，解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.∴ 拓展提升：如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围.3≤OP≤5BAOP 垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.两条辅助线：连半径，作垂线构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程基本图形及变式图形