第26章二次函数26.3实践与探索第2课时二次函数和一元二次方程不等式的关系教案（华东师大版九下）

第2课时　二次函数和一元二次方程(不等式)的关系【知识与技能】通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．【过程与方法】使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生运用数学的意识．【情感态度】进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想．【教学重点】使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题．【教学难点】了解二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．一、情境导入，初步认识我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．【教学说明】　让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生形成解决一类问题的通用方法的思维．二、思考探究，获取新知问题3：(P28.问题3)(1)先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)．(2)让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．(3)对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．4 (4)根据问题3的图象回答下列问题．①当x取何值时，y＜0；当x取何值时，y＞0？(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)②能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么？x2－x－＞0的解集是什么？)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．问题4：(P29问题4)提问：(1)这两种解法的结果一样吗？(2)小刘解法的理由是什么？(3)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗？你能否举出例子加以说明？(4)函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗？(5)如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样？【教学说明】　让学生讨论、交流，发表不同意见，并进行归纳．【归纳总结】　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．三、运用新知，深化理解1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(　　)A．ac＞0B．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3C．2a－b＝0D．当x＞0时，y随x的增大而减小答案：　B2．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.6，x2＝(　　)4 A．－1.6　　　　　　B．3.2C．4.4D．以上都不对解析：由抛物线图象可知其对称轴为x＝3，又抛物线是轴对称图形，∴抛物线与x轴的两个交点关于x＝3对称，而关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3＝x1＋x2，而x1＝1.6，∴x2＝4.4.故选C.答案：　C3．(1)已知抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3，当________时，抛物线与x轴相交于两点．(2)已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，则a＝____．解析：(1)抛物线y＝2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3与x轴相交于两点，相当于方程2(k＋1)x2＋4kx＋2k－3＝0有两个不相等的实数根，即根的判别式Δ＞0.(2)二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2＝0的两个实数根相等，即Δ＝0.答案：　(1)k＞－3　(2)24．利用函数的图象，求下列方程组的解：(1)(2)分析：(1)可以通过直接画出函数y＝－x＋和y＝x2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．解：(1)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝－x＋的图象，如图：得到它们的交点(－，)、(1，1)，则方程组的解为，.4 (2)在同一直角坐标系中画出函数y＝x2＋2x和y＝3x＋6的图象，如图：得到它们的交点(－2，0)、(3，15)．则方程组的解为，.【教学说明】　小组交流所得结果，练习巩固，加深理解．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．1．布置作业：教材“习题26.3”中第3、4题．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程、不等式互相转化的思想；数形结合思想．难度较大，学生不容易理解，应多加练习．4