湖北省随州市第一中学2023-2024学年高二数学上学期8月月考试题（Word版附答案）

随州一中高二8月月考试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知平面向量，满足，，且，则，的夹角的余弦（    ）A．B．C．D．2.点关于坐标平面对称的点B的坐标为（）A．B．C．D．3．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则4．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（    ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5.若向量、的坐标满足，，则等于（    ）A．﹣1B．﹣5C．5D．76．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（）A.B.C.D.7.的值为（）A.B.C.D.8．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（    ）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若P、Q是勒洛四面体表面上的任意两点，则PQ的最大值为C．勒洛四面体的体积是D．勒洛四面体内切球的半径是二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求） 9.．若，，，为复数，，下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（    ）A．B．C．若A与B互斥，则D．一定有11.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，，且该三角形有两解，则C．若，则为等腰三角形D．若，则为锐角三角形12.在棱长为2的正方体中，点N满足，其中，，异面直线BN与所成角为，点M满足，则下列选项正确的是（    ）A．B．C．当线段MN取最小值时，D．当时，与AM垂直的平面截正方体所得的截面面积最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为.14．某射击运动员在一次射击测试中，射靶次，每次命中的环数如下：，记这组数的众数为，第百分位数为，则.15.在中，，，D为BC上一点，AD为的平分线，则_________． 16.如图，在二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，当时，则四面体外接球的半径为.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．(1)用，，表示向量；(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．18．在中，，，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.(1)求AC；(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.19.如图1，在等腰梯形中，，，，为的中点.将沿翻折，得到四棱锥（如图2）.（1）若的中点为，点在棱上，且平面，求的长度；（2）若四棱锥的体积等于2，求二面角的大小. 20.某地区对高中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求第七组的频率；（2）用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．21.一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球.设“甲摸到红球”为事件，“乙摸到红球”为事件.(1)小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件发生的可能性大于发生的可能性.小明的判断是否正确，请说明理由；(2)判断事件与是否相互独立，并证明.22.（12分）已知正三棱锥的底面边长等于，顶点在底面内的投影为，点在侧面内的投影为，连接与棱交于点. （1）证明：点是棱的中点；（2）若点是的重心，求直线与平面所成角的正弦值.随州一中高二8月月考试题答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）题号12345678答案BBCABABD二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）题号9101112答案ABDABABDBCD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13,514,1615,216,四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.【详解】（1）解：因为是中点，所以，所以；（2）解：假设存在点，使，设，，显然，，因为，所以，即，，，，即，解得，所以当时，. 18．【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，在中，，，，由余弦定理得，所以，即，解得；（2）由（1）知，又，所以，所以，又M点为BC的中点，所以，因为，所以，所以，又，且，所以.19.（1）取的中点,连接,因为分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；因为平面，，平面，所以平面平面；因为平面平面,平面平面,所以，即为的中点，所以.（2）由图1可知，等腰梯形的高为，所以四边形的面积为；因为四棱锥的体积等于2，所以四棱锥的高等于，因为三角形的高为，所以平面平面；取的中点,连接,由图1可知，均为等边三角形，所以,，且;因为,所以平面， 因为平面，所以；由图1可知，所以是二面角的平面角，因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以为直角三角形；在中，，所以，即二面角为.20.（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：；（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：（分）；（3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人，记这组三人的编号为这组两人的编号为，故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”则，共6种情况．故，即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．21.【详解】（1）两人摸出球的所有情况：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,4），（4,1）（4,2），（4,3），共12种； 事件包含的情况有：（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,3），（2,4），共6种；事件包含的情况有：（1,2），（2,1），（3,1），（3,2），（4,1）（4,2），共6种；所以，故小明的判断不正确.（2）事件包含的情况有：（1,2），（2,1），故；因为，；所以事件与不相互独立.22.解：（1）顶点在底面内的投影为，平面，平面,....................................................................................................................1分点在侧面内的投影为，平面，平面,....................................................................................................................2分，平面，平面，.................3分是正三棱锥，，点是棱的中点......................................4分（2）是正三角形，是的中心，且点是棱的中点，三点共线.........................................................................................................................................5分以为原点，为轴，为轴，过且与平行的方向为轴建立如图所示的坐标系，则设，因为是的重心，所以，所以，，....................................................................8分,，设平面的法向量，由得，令得 ....................................................................................................................................................10分因为..........................................................11分所以直线与平面所成角的正弦值为............................................................12分