浙江省宁波市三锋教研联盟2022-2023学年高二数学上学期期中联考试题（Word版附解析）

绝密★考试结束前2022学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.椭圆的焦点坐标是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据方程，可得的值，根据a，b，c的关系，可求得c值，即可得答案.【详解】根据方程可得，且焦点在x轴，又，所以，所以焦点坐标为，.故选：B2.直线的倾斜角等于（）A.B.C.D.不存在【答案】B【解析】【分析】设直线的倾斜角为，求出即得解.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【详解】设直线的倾斜角为，由题得，所以直线的斜率，因为，所以.故选：B3.正方体分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以的原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B4.圆关于直线l：对称的圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出圆的圆心坐标与半径，再设圆心关于直线对称的点的坐标为，即可得到方程组，求出、，即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程；【详解】解：圆的圆心为，半径，设圆心关于直线对称的点的坐标为，则，解得，即圆关于直线对称的圆的圆心为，半径，所以对称圆的方程为；故选：A5.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 将选项代入检验即可得正确选项.【详解】设平面内的一点为(不与点重合)，则，因为是平面的一个法向量，所以，所以，即，对于A：，故选项A不正确；对于B：，故选项B正确；对于C：，故选项C不正确；对于D：，故选项D不正确，故选：B.6.已知点，向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点到直线l的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得直线l的方程，再利用点到直线距离公式去求点到直线l的距离即可.【详解】以向量为方向向量的直线l的斜率则过点P的直线l的方程为，即则点到直线l的距离故选：B7.已知点A，B分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可【详解】由已知得：，，所以，由得：所以所以由得：所以故选：C8.若方程有两个不等的实根，则实数b的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【分析】将化为，作出直线与半圆的图形，利用两个图形有个公共点，求出切线的斜率，观察图形可得解.【详解】解：由得，所以直线与半圆有个公共点，作出直线与半圆的图形，如图：当直线经过点时，，当直线与圆相切时，，解得或（舍），由图可知，当直线与曲线有个公共点时，，故选：B.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由题意得到，再根据,求出，分焦点在x轴和y轴上写出标准方程即可【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以，解得，又，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当椭圆的焦㤐在y轴上时，椭圆的标准方程为，故选：BD10.下列命题中错误的是（）A.是共线的充要条件B.若是空间任意四点，则有C.若共线，则D.对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），则四点共面【答案】ACD【解析】【分析】根据向量共线的性质即可判断CA，由向量的线性运算即可判断B，根据共面定理的推论即可判断D.【详解】对于A，当方向相同的共线时，此时，所以不是共线的充要条件，故A错误，对于B,,故B正确，对于C，共线，有可能四点在同一条直线上，所以不能得到，故C错误，对于D，对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），且时，四点共面，故D错误，故选：ACD11.下列结论正确的是（）A.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程为；B.圆与圆有且仅有一条公切线则；C.已知直线过点且和以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 ；D.若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是.【答案】BD【解析】【分析】由经过坐标原点时，满足题意，可判定A错误；由与圆项内切，结合圆与圆的位置关系，可判定B正确；分别求得的值，得到或，可判定C错误；设圆的圆心坐标为，半径为，转化为两圆相交，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解.【详解】对于A中，当过点的经过坐标原点时，此时直线方程为，此时满足在两坐标轴上的截距互为相反数，所以A错误；对于B中，由圆与圆，可得，且，则，若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切，则满足，即，解得，所以B正确；对于C中，由点和，可得，要使得过点且和以为端点的线段相交，则满足或，即或，所以C错误；对于D中，由圆，可得圆心，设圆的圆心坐标为，半径为，可得，要使得圆上恰好有两点到的距离为，则圆与圆相交，则满足，即，解得，所以D正确.故选：BD.12.如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（）第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 A.存在点F，使得B.线段长度的取值范围是C.四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合D.设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为4【答案】BCD【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中，，利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；求出与的关系式，利用反比例函数的基本性质可判断B选项；利用等积法可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 则、、、、、、，设点、，其中，.对于A选项，若存在点，使得，且，，，解得，不合乎题意，A错；对于B选项，设，其中、，即，即，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，，其中，故，又，故即，故点F只能与点B重合，C对；对于D选项，，，则点到直线的距离为，，则点到直线的距离为，所以，，故，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：BCD.【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，运用空间向量的性质是解题的关键.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 非选择题部分三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则______．【答案】11【解析】【分析】由椭圆定义，，，结合条件数值即可求【详解】由椭圆定义，，，，故，又，故．故答案为：1114.已知圆：及直线：，设直线与圆相交所得的最长弦长为，最短弦为，则四边形的面积为______．【答案】【解析】【分析】将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，进而可得最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，根据垂直关系求出，可得直线的方程，利用弦长公式求出，从而根据四边形的面积即可求解.【详解】解：将圆方程整理为，得圆心，半径，将直线方程整理为，得直线恒过定点，且在圆内，最长弦为过的圆的直径，即，最短弦为过，且与最长弦垂直的弦，，，直线方程为，即，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 圆心到直线的距离为，，四边形的面积，故答案为：.15.过点的圆的切线方程为___________.【答案】或.【解析】【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．【详解】已知圆圆心坐标为，半径为，易知直线是圆的切线，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，切线方程为，即．故答案为或．16.正方体棱长为2，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界），且，当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为__________．【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设，利用数量积的坐标运算表示出的关系，进而表示出直线与平面所成的角的正切值，求得其取最大值时m的值，即可求得三棱锥的体积.【详解】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 则，设，则，设与平面所成的角为，在平面内作,垂足为P,由于正方体中，平面平面，平面平面，平面,则平面，连接,则,，所以，令，由于，当且仅当时取等号，即时，最大，此时与平面所成的角最大，此时三棱锥的体积为，故答案为：第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知.（1）求；（2）求与夹角余弦值；（3）当时，求实数的值.【答案】（1）-10（2）（3）或【解析】【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.（3）由,转化为数量积为0即可.【小问1详解】；【小问2详解】；【小问3详解】当时，，得，，或.18.已知两条直线.（1）若不重合，且垂直于同一条直线，求的值.（2）从①直线过坐标原点，②直线在轴上的截距为2，③直线与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答.若，直线与垂直，且__________，求直线的方程.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）选条件①直线l的方程为；选条件②直线l的方程为；选条件③直线l的方程为.【解析】【分析】（1）由两直线平行的条件求的值；（2）直线与垂直，可得直线l的斜率为，结合所选条件求直线l的方程.【小问1详解】不重合，且垂直于同一条直线，，，解得.【小问2详解】，直线，其斜率为2，又直线l与垂直，直线l的斜率为.方案一：选条件①.由直线l过坐标原点，则直线l的方程为，即.方案二：选条件②.由题意设直线l的方程为，令，则，则，即，直线l的方程为.方案三：选条件③.由题意设直线l的方程为，令，则，令，则，，解得，直线l的方程为.19.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，则由三角形的中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知可证得，，，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；（3）利用空间向量中的距离公式求解点到平面的距离.【小问1详解】连接，交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点，因为点为棱的中点，所以，因为平面平面，所以平面；【小问2详解】因为直线平面平面，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 所以，，因为四边形为矩形，所以，所以以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，所以，设平面的法向量，则，令，则设直线与平面所成角的正弦值，所以，所以直线与平面所成角的正弦值；【小问3详解】由（2），平面的法向量为，则点到平面的距离，所以到平面的距离.20.已知的圆心在直线上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，被直线l：截得的弦长为2.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （1）求的方程；（2）设点D在上运动，且点满足，（O为原点）记点的轨迹为.①求曲线的方程；②过点的直线与曲线交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①；②存在，【解析】【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；（2）①利用代点法求出点的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点的坐标，检验斜率不存在时该点是否也满足条件即可.【小问1详解】由题意可设圆的圆心的坐标为，圆的圆心在直线上，，解得：，即圆心为，圆心到直线的距离为，设圆的半径为r，弦长为，由已知所以，所以圆的标准方程为；【小问2详解】设，则，由得：，所以D在圆上运动，整理可得点T的轨迹方程为：当直线轴时，轴平分，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 联立化简可得，方程的判别式，设，，，若轴平分，则，所以，又，，所以，所以，所以所以解得，当时，能使轴平分21.如图，等腰直角的斜边为直角的直角边，是的中点，在上，将三角形沿翻折，分别连接、、，使得平面平面.已知，.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）过点在平面内作，垂足为，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由等腰三角形的几何性质可得出，利用线面垂直的判定和性质可证得结论成立；（2）推导出，计算出、的长，然后以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值.【小问1详解】证明：过点在平面内作，垂足为，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，是等腰直角三角形斜边的中点，，又，、平面，平面，平面，.【小问2详解】第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 解：由题意可知，在等腰直角三角形中，，，在平面内，，，则，为的中点，则为直角三角形的中位线，，，，，，，，，，以为原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设平面的法向量，则、、，，，由得，令，则，显然，平面的一个法向量为，因此，平面与平面夹角的余弦值.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 22.如图所示：已知椭圆短轴长为2，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.（1）若离心率，求椭圆的标准方程；（2）在（1）的条件下①求证：为定值；②求的取值范围；【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解的值，（2）联立直线方程与椭圆方程得韦达定理给，结合向量的坐标运算即可求解，由弦长公式，结合对勾函数的单调性即可求解面积的范围.【小问1详解】由题意可知，，所以，故椭圆方程为：【小问2详解】由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴，第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 ①设直线，设，由消去并整理得：，则，由得，即，而，同理，因此，，所以为定值.②，由，则有，令，显然函数在上单调递增，，则，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司