浙江省台州市温岭中学2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022学年第二学期温岭中学期末试卷高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先对复数化简，再求出其共轭复数，从而可求得结果【详解】因为，所以，则其在复平面内对应的点在第一象限，故选：A2.直线的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A【解析】【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.【详解】因为的斜率，所以其倾斜角为30°.故选：A.3.若平面，的法向量分别为，，则（）A.B.C.，相交但不垂直D.以上均不正确【答案】C【解析】【分析】应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，即可判断面面关系.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【详解】由，而，由所得向量夹角余弦值知：，相交但不垂直.故选：C4.已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　　)A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由侧面展开图求得圆锥母线和底面半径，再求得其高后，根据体积公式计算．【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意，，，，∴，体积，故选：A．5.在中角所对的边分别为，若，，，则（）A.当时，B.当时，有两个解C.当时，只有一个解D.对一切，都有解【答案】C【解析】【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得.【详解】因为，，，所以由正弦定理，即，当时，又，所以或，故A错误；当时，又，此时无解，故B、D错误；当时，则，又，此时只有一解，即只有一个解，故C正确；故选：C6.的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值(单位：)变化的折线图，关于日均值说法正确的是（）A.这10天日均值的分位数为60B.前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C.前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D.这10天的日均值的中位数为41【答案】B【解析】【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】对于A，将10天中的日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据分位数的定义可得，这10天中日均值的分位数是，故选项A错误；对于B，前5天的日均值的极差为，后5天的日均值的极差为，故选项B正确；对于C，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值波动性小，所以前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差，故选项C错误；对于D，这10天中日均值的中位数为，故选项D错误．故选：B7.已知是边长为2的正六边形内（含边界）一点，为边的中点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】通过数量积定义得出与重合时取得最大值，与重合时，取得最小值，然后建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．【详解】如图，过作于，则，当与同向时为正，当与反向时为负，分别过作，，为垂足，则得当与重合（即与重合）时，取得最大值，当与重合（即与重合）时，取得最小值，是正六边形，因此以为轴，为建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，是中点，则，，，，，，所以的范围是，故选：B．8.在中，，，，为中点，若将沿着直线翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线与平面所成角的正弦值是（）A.B.C.D.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定为等边三角形，利用正弦定理可确定外接圆半径，由此可知外接圆圆心即为四面体外接球球心，由球的性质可知平面，利用可求得点到平面的距离，由此可求得线面角的正弦值.【详解】，，，，又为中点，，则，即为等边三角形，设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，取中点，连接，，，，即外接圆半径为，又四面体的外接球半径为，为四面体外接球的球心，由球的性质可知：平面，又平面，，，，；设点到平面的距离为，由得：，又与均为边长为的等边三角形，，直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.【点睛】关键点点睛；本题考查几何体的外接球、线面角问题第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 的求解；本题求解线面角的关键是能够确定外接球球心的位置，结合球的性质，利用体积桥的方式构造方程求得点到面的距离，进而得到线面角的正弦值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知边长为2的正方形ABCD中，点在四条边上移动，则下列结论正确的是（）A.当E为BC中点时，B.当E为BC中点时，C.当E在边CD上移动时，是定值D.当E在边CD上移动时，是定值【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的线性运算与数量积的定义判断．【详解】如图1，E为BC中点时，选项A，，A正确；选项B，，B正确；图1如图2，E在边CD上移动时，选项C，，不是定值，C错；选项D，为定值，D正确，图2故选：ABD．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 10.小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（）A.文学社和话剧社均面试成功的概率为B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为C.有且只有辩论社面试成功的概率为D.三个社团至少一个面试成功的概率为【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】对于A中，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确；对于B中，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确；对于C中年，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确；对于D中，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确.故选：BCD.11.龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季.在操场旗杆A的东偏南（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（）A.12秒后龙卷风会侵袭到旗杆B.秒后龙卷风会侵袭到旗杆C.旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒D.旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒【答案】AD【解析】【分析】以为坐标原点，建立的直角坐标系，得到小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，结合题意，列出不等关系式，得到第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，解得，结合选项，即可求解.【详解】以为坐标原点，以正东方向为轴，以正北方向为轴，建立如图所示的直角坐标系，因为，可得，可得点，当小时后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以为半径的圆，若旗杆受到台风的侵袭，则，整理得，即，解得，所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆，且受台风侵袭的持续时间为小时.故选：AD.12.正方体的棱长为3，点是正方体表面上的一个动点，点在棱上，且，则下列结论正确的有（）A.若在侧面内，且保持，则点的运动轨迹长度为B.沿正方体的表面从点到点的最短路程为C.若，则点的轨迹长度为D.当在点时，三棱锥的外接球表面积为第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据球的截面相关知识直接求解的轨迹进而求解答案；对于B，将正方体底面与后面展开计算长度即可判断；对于C，根据题意找出平面，进而找出的轨迹进而求解答案；对于D，根据已知条件建系，结合空间向量坐标运算求解外接球半径进而求解表面积.【详解】对于A，若在侧面内，且保持，则在以点为球心，为半径的球面上，如图，在棱上取点，且，则，即在侧面内轨迹是以为圆心，半径为的一段弧，设轨迹与交于点，则，即，所以，所以点的运动轨迹长度为，故A正确.对于B，将正方体底面与后面展开如图所示，此时，故B错误.对于C，如下图所示，分别取的点，使得，连接，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 由正方体可知，平面，因为平面，所以，又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，由可知，则，同理，又因为平面，，所以平面，所以点轨迹为六边形，由图形关系可知，，所以六边形周长为，即点的轨迹长度为，故C正确.对于D，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，设三棱锥的外接球的球心为，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 由，得，解得，所以外接球半径为，所以三棱锥的外接球表面积为，故D错误.故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人．【答案】21【解析】【分析】由分层抽样定义按比例计算可得.【详解】设男生就抽取人，则，解得．故答案为：21.14.已知直线和直线，若，则_______【答案】－1【解析】【分析】根据两直线平行的条件求解．【详解】时，两直线显然不平行，因此，所以由得，解得，故答案为：．15.已知复数满足，且，则___________【答案】7第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出的关系，从而得出结论．【详解】如图，设，，作平行四边形，则，，由已知，，，在平行四边形中，，，又，，即，所以，所以，，故答案为：7.16.如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为和，两齿轮中心在同一水平线上，距离为，标记初始位置点为左齿轮的最右端，点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中两点之间距离的最小值为____________.【答案】【解析】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【分析】以小齿轮的圆心为原点建系，由于点与点处转过的弧长相等,结合半径长的比值及弧长公式可设点与点转过的圆心角分别为、，利用三角函数的定义可以得出点与点的坐标，再用距离公式可构建两点之间距离的函数，求解最值即可.【详解】设小齿轮和大齿轮圆心分别为,则以为原点为轴，过点作的垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，设点转过的圆心角为，点与点处转过的弧长相等,点转过的圆心角为，则，即,当时取得最小值为，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在平面直角坐标系中，三个顶点坐标为（1）求直线方程；（2）求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据坐标求出直线斜率，结合点斜式方程求法求解即可；（2）先求出两点间距离，再求出到直线的距离，根据三角形面积公式求解答案即可.【小问1详解】由已知得，直线斜率存在，为，所以直线方程，整理得直线方程为【小问2详解】因为，所以，直线方程为，到直线的距离，所以的面积为18.已知中，角所对的边长分别为，且（1）求角的大小；（2）若，且，求.【答案】（1）（2）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得；（2）正弦定理化角为边得，由数量积定义得，从而可得，然后结合余弦定理可求得．【小问1详解】，所以由正弦定理可得，【小问2详解】所以由正弦定理可得又由余弦定理：所以将代入上式得得19.如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为的中点，.（1）设是的中点，证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，通过图形关系证明，通过线面平行的判定定理即可得证结论；（2）根据已知条件以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和坐标，根据线面角计算公式即可求解.【小问1详解】如图所示，连接交于点，连接，因为为中线，所以为重心，则，所以，又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】连接，在等腰中，是的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因平面，所以，因为是以为斜边的等腰直角三角形，是的中点，则，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 则，所以，设平面的法向量，则，取，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．20.亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主.第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，右图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差.【答案】（1），（2）（3）平均分为，方差为【解析】【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，可求得第10名的成绩是第75百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可.【小问1详解】因为已有矩形的面积和为，所以缺失的矩形面积为，所以高度为，由于，所以第10名记为第75百分位数，设第10名的成绩为，则位于第5组，且，解得，所以成绩排名第10的选手分数为129；【小问2详解】105以下合计6个人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6（95分以下的人编号为1，2），任选2个人的方法数，列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，包含1，2有9种，故概率为；【小问3详解】男子组选手的平均分，男子组得分的方差第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 所有选手的平均得分为，所以所有选手得分的方差.21.已知中，角所对的边长分别为，且，为边上一点，且.（1）若为中线，且，求；（2）若为的平分线，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得；（2）设，在和中分别运用正弦定理，两式相除得到，结合为锐角三角形得到，进而求解答案.【小问1详解】如下图所示，在中，设，由余弦定理得即，得，所以，在中，由余弦定理得，则，所以【小问2详解】第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 设，则，如下图所示，在和中，由正弦定理得，，得，因为为锐角三角形，所以均为锐角，所以，则，所以，又因为，所以，所以的取值范围是22.如图，已知四棱台的底面是菱形，且，侧面是等腰梯形，，为棱上一点，且.（1）求证：平面平面；（2）若过点的平面与平行，且交直线于点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】（1）延长四棱台的四条侧棱交于点，取中点，证明平面后可得证面面垂直；（2）以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，首先求出平面的一个法向量，确定出与重合，再由向量法求得二面角．【小问1详解】分别延长四棱台的四条侧棱交于点，则由，得，又，所以，即为等腰直角三角形，从而为等腰直角三角形，是直角顶点，取中点，连接，则，，又，由题意是等边三角形，因此，，所以，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 即，取，则，，即，设，则，所以，，所以与重合．所以二面角即为二面角，，设平面的一个法向量是，则，取，得，又平面的一个法向量是，，所以二面角的余弦值是．【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则①两异面直线所成的角为，；②直线与平面所成的角为，；③二面角的大小为，.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司