放缩技巧与放缩法 讲义--高考数学压轴题微专题-学生版

放缩技巧与放缩法放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一.在高考命题的热点一一数列不等式的证明一一中有广泛的应用,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考量.常用的放缩法有增项,减项、利用分式的性质、利用不等式的基本性质,利用已知不等式(如均值不等式,柯西不等式、排序不等式等)、利用函数的性质、利用三角函数的有界性进行放缩等,适当放缩是解决不等式问题的重点也是难点所在.虽然各版教材关于不等式放缩的技巧要求并不高,但高考中和全国数学联赛中经常把对这种方法的考查作为命题的热点,特别是在压轴题中,数列不等式的证明是常考题型.放缩法主要有直接放缩、裂项放缩,并项放缩,加强放缩等几种类型.(1)直接放缩:为了证明不等式A<B,可找一个(或多个)中间量C作比较,若能确定A<C与C<B同时成立,则A<B显然正确(实质就是运用不等式基本性质中的传递性).所谓“放”即把A放大到C,再把C放大到B;反之,由B缩小经过C而变到A,则称为“缩”,统称为放缩法,放缩法是一种技巧性较强的不等变形,关键是放,缩适当,跨度合理,放不能过头,缩不能不及.(2)裂项放缩:在证明数列不等式中涉及数列求和时,经常出现这类技巧.放缩法常用的结论如下：122①=>=2(k+1-k);kk+kk+1+k121*=<=2(k-k-1)k∈N,k>1kk+kk+k-111111111②<=-;>=-;2k-1k2kk+1kk(k-1)kk(k+1)111111③<==-k2k2-1(k-1)(k+1)2k-1k+14绝对值不等式:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(3)并项放缩:有些不等式问题,直接放缩无法办到,如果对原不等式中的项进行适当重组,可使原问题出现“柳暗花明又一村”的境地,并项放缩是局部调整法最为简单的一种.G・波利亚也说过“局部提示整体”,局部调整,分段逼近是导致不等式证明,特别是数列不等式证明得以解决的重要分析.(4)加强放缩:有些数列不等式问题若直接证明命题比证明其某个加强命题更困难.这时,我们不妨“欲擒故纵",先通过证明原命题的某个“更强的命题”,从而“顺手牵羊”地解决原命题,这种证明方法称为加强命题法,这是证明数列不等式问题的一种有效方法.总之,有关不等式的证明,在对问题作细致观察的基础上,展开丰富的联想,开启创造性思维的大门,将待处理的问题变化(转化)为目标模式或规范问题,从而使原问题得到解决,是化归思想的体现,运用放缩法证明不等式,其实质是化归思想的运用.典型例题1设a,b,c均为非负实数,求证：222222a+b+b+c+c+a≥2(a+b+c)·1· 11112若n是正整数,求证:+++⋯+<2.2222123n3已知:a,b,c,d都是正数.bcda求证:1<+++<2a+b+cb+c+dc+d+ad+a+bn*4已知:数列an满足Sn=ann∈N,Sn是an的前$n$项的和,a2=1.2(1)求Sn;31n(2)证明:2≤1+2a<2.n+1·2· 25已知：各项均为正数的数列an的前$n$项和为Sn,且an+an=2Sn.22an+an+1(1)求证:Sn<;4SnSn+1-1(2)求证:<S1+S2+⋯+Sn<.22n6已知数列an满足a1=1,an+1=1+nan(n=1,2,3⋯).2n+1求证:an+1>an≥3-n-1.212*7已知f(x)=-x+x+1,xn+1=fxn,n∈N,且1<x1<2.23(1)当n≥2时,求证:1<xn<;21(2)试确定一个正整数N(N≥2),使得当n>N时,都有xn-2<.32·3· 强化训练11111n+1求证:1++++⋯++>1+n≥2,n∈Z.234nn22-1212*2已知数列an满足a1=且an+1=an-ann∈N.2an*(1)求证:1≤≤2n∈N;an+121Sn1(2)设数列an的前n项和为Sn.求证:≤≤.2(n+1)n2(n+1)2*3设数列an满足an+1=an-nan+1,n∈N.(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜测出an的一个通项公式(不需要证明);(2)当a1≥3时,用数学归纳法证明an≥n+2;1111(3)当a1=3时,求证:++⋯+<.1+a11+a21+an2·4·