第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和课件（华东师大版七下）

9.2多边形的内角和与外角和华东师大版七年级数学下册 新课导入顶点边内角三角形的内角和等于180°. 你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？ 新课探索图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD.DBAC 图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE.ABCDE 一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形. 注意这也是四边形，但不在现在的研究范围内.我们现在研究的多边形都是凸多边形. ∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角.∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角.ABCDEF ABCDE五边形有5个内角，有10个外角.ABCDEF六边形有6个内角，有12个外角. 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.正三角形正方形正五边形 连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.ABCDEFABCDEABCD 探索为了求得n边形的内角和，请根据图中所示，完成下表. 多边形的边数34567…n分成的三角形个数12…多边形的内角和180°360°…540°34720°5900°n–2（n–2）·180°n边形的内角和为（n–2）·180°. “归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程.在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到.当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向.因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.读一读 例1求八边形的内角和.解八边形的内角和为（n–2）×180°=（8–2）×180°=1080°. 例2已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.解设这个多边形的边数为n，根据题意，得（n–2）×180°=2160°.解得n=14.即这个多边形的边数为14. 练习若正n边形的一个内角是144°，那么n=.10 试一试你有其他方法证明多边形的内角和吗？P在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得n个三角形.则n变形的内角和等于n个三角形的内角和减去圆角P.即180°n–360°=（n–2）·180° 若是将点P取在多边形的边上以及多边形的外面，你能证明吗？PP ABC123D45678四边形的外角和∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和. 从图中可以知道：（∠1+∠5）+（∠2+∠6）+（∠3+∠7）+（∠4+∠8）=4×180°，所以∠1+∠2+∠3+∠4=4×180°–（∠5+∠6+∠7+∠8）.而∠5+∠6+∠7+∠8=360°.因此∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 探索根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n边形的外角和据此，请将数据填人表中. 多边形的边数34567…n多边形的内角和与外角和的总和…多边形的内角和180°…多边形的外角和540°720°900°3×180°=540°4×180°=720°5×180°=900°6×180°=1080°7×180°=1260°n·180°360°（n–2）·180°360°360°360°360°360°360°任意多边形的外角和都为360°. 例3一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？解设多边形的边数为n，根据题意，得n·72°=360°.解得n=5.因此，这个多边形是五边形. 例4一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？解设多边形的边数为n，根据题意，得（n–2）·180°=5×360°.解得n=12.因此，这个多边形是十二边形. 课堂小结n边形的内角和为（n–2）·180°.任意多边形的外角和都为360°.一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，也即我们已经认识的多边形. 随堂演练1.下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（）A.600°B.720°C.900°D.1080°2.若多边形的边数由3增加到5，则其外角和的度数（）A.增加B.减少C.不变D.不能确定AC 3.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n–2）·180°，外角和等于360°，所以（n–2）·180°=3×360°.解得n=8答：这个多边形是八边形. 4.如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米，后左转30度，再沿直线前进10米.又向左转30度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米？ 解：由题意可知，小亮第一次回到出发地A点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于30°，边长为10米.所以这个多边形的边数为所以一共走了12×10=120（米）.