福建省福州第八中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷

福州八中2022-2023学年第二学期期末试卷高二数学命题：欧阳师章审核：陈达辉校对：揭连英考试时间：120分钟总分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为实数集R，集合A=−−−{3,2,1,0,1,2,3}，B={xx≥2}，则AB(R)=A.{2,3}B.{−−2,1,0,1}C.{−−−3,2,1,0,1}D.{−−−3,2,1,0}12.已知z−−=(23i)（i是虚数单位），那么复数z在复平面内对应的点所在的象限为iA.四B.一C.二D.三223.已知点M(1,3)在圆Cxym:+=上，过M作圆C的切线l，则l的倾斜角为A.30B.60C.120D.150224.“a=1”是“函数fx()=lg(xax+−)是奇函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件.355.已知αβ,都是锐角，sinα=,cos(αβ+=)−，则cosβ=51356161656A.−B.−C.D.656565656.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有A.14种B.16种C.18种D.20种147．设Sn为正项等差数列{an}的前n项和．若S2023=2023，则+的最小值为aa4202059A．B．5C．9D．228.随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结2果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推111送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此41次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为Pn，当n≥2时，PMn≤3恒成立，则M的最小值为学科网（北京）股份有限公司 97939773A.B.C.D.132132120120二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量a=(1,1−)，bmm=(,1−)，cm=(2,2)，若ab⊥，则1133A.m=−B.ab−=,−C.c=5D.bc⋅=2222111110.若a>0，b>0，且−>log−log，则下列不等式中正确的是（）22abbaab1111aa+1A.>B.>C.>D.logabba>logab33bb+111.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PC⊥平面ABCD，AB=BC=PC=2，O为AP的中点，则下列说法正确的是（）A.平面PDB⊥平面PACB.若平面PAB∩平面PCD=l，则l∥ABC.过点O且与PC平行的平面截该四棱锥，截面可能是五边形8πD.平面PBD截该四棱锥外接球所得的截面面积为3222212．已知抛物线E：yx=4的焦点为F(1,0)，圆F：(x−+=<<1)yrr(01)，过焦点的动直线l与抛物线E交于点Axy(11,)，Bxy(22,)，与圆F相交于点C､D（A､C在x轴上方），点M是AB中点，点T（0，1），则下列结论正确的有（）111A．若直线l与y轴相交于点Gy(0,3)，则有+=yyy123B．随着l变化，点M在一条抛物线上运动C．OMFT⋅最大值为−11D．当r∈,1时，总存在直线l，使|AC|､|CD|､|DB|成等差数列2三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.32n613．()x−的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中x的系数x为．π14.为了得到函数fx()=sin2x−的图象，只需将函数gx()=cos2x的图象向右平4移个单位长度．22xy15．设FF12,为双曲线C：22−=>>1(ab0,0)的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与C在ab7第一象限相交于一点P，若FP1=FF12，且直线l倾斜角的余弦值为，则C的离心率8为．学科网（北京）股份有限公司 −xx16.设定义在(0,+∞)上的函数fx()满足fx′()e1>，则函数fx()−e在定义域内1是______（填“增”或“减”）函数；若fxx(ln)≥+e，f=2e，则x的最小2值为______．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．（10分）已知{an}为等差数列，{bn}为单调递增的等比数列，ab11==1，aa24+=6，ab33=12.（1）求{an}与{bn}的通项公式；（2）求数列{abnn+}的前n项和Sn18．（12分）π在∆ABC中，角A，B，C的对边分别为abc,,．已知a=1，b=23，BA−=．6（1）求sinA的值；（2）求c的值．19.（12分）牛排主要分为菲力牛排，肉眼牛排，西冷牛排，T骨牛排，某牛肉采购商从采购的一批牛排中随机抽取100盒，利用牛排的分类标准得到的数据如下：牛排种类菲力牛排肉眼牛排西冷牛排T骨牛排数量/盒20302030(1)用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，再从抽取的10盒牛排中随机抽取4盒，求恰好有2盒牛排是T骨牛排的概率；(2)若将频率视为概率，用样本估计总体，从这批牛排中随机抽取3盒，若X表示抽到的菲力牛排的数量，求X的分布列和数学期望．学科网（北京）股份有限公司 20.（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD//，AB=222CD=AD=，将△ADC沿着AC翻折，使得点D到点P处，且AP⊥BC.（1）求证：平面APC⊥平面ABC；（2）求二面角C−−PAB的平面角的正弦值.21．（12分）22xy1已知椭圆C:10+=>>(ab)的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e=，点P22ab2π是椭圆C上一动点，△PFF12内切圆面积的最大值为．3（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；PFPF12（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点AB,，求证：+为定值．FAFB1222．（12分）x设函数fxxx()=ln，gx()=aea()∈R．（1）若曲线yfx=()在x=1处的切线也与曲线ygx=()相切，求a的值．（2）若函数Gx()=fxgx()−()存在两个极值点．①求a的取值范围；2②当ae≥2时，证明：Gx()<0．学科网（北京）股份有限公司 福州八中2022-2023学年第二学期期末试卷高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C2．B3.D4.A5.C6．C7.D8．A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.BCD10.AB11．ABD12．AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。3π13.−16014.15．216．①.增②.e（第一空2分，第二空3分）8四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）【解】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由aa24+=6，可得246ad1+=，又a1=1，所以d=1.所以aandnn=+−=1(1).·····································································2分2b3由ab33=12，可得b3=4，又b1=1，所以q==4，b1又因为数列{bn}为单调递增的等比数列，则q>0，故q2，nn11所以bbq2；·········································································5分n1n−1（2）由（1）可知abn+=+2，nnnn(+1)数列{an}的前n项和为12+++=n，·······································7分2nbnn−112−数列{n}的前n项和为12+++2==−21，····························9分12−nn(+1)n故S=+−21.·······································································10分n218．（12分）【解】π（1）在∆ABC中，因为a=1，b=23，BA−=，6123=由正弦定理得，sinAπ，sinA+6学科网（北京）股份有限公司 ππ于是23sinAA=sincos+cossinA，即33sinAA=cos，······4分66227又sinAA+=cos1，所以sinA=．················6分14321（2）由题a<b,∴A<B,故由（1）知，cosA=，1433213则sin2A=2sincosAA=，cos2A=12−=sinA，1414π5π在∆ABC中，因为ABC++=π，BA−=，所以CA=−2．665π55ππ则sinCA=sin−2=sincos2AA−cossin266611333311=×+×=．21421414aCsin11由正弦定理得，c==7．················12分sinA72711（另解：可以通过求cosB=，用余弦定理求c=7，满分；如果通过求7732111cosA=，用余弦定理求c=7或c=7（舍），用两边之和大于第三边判断，147否则扣2分）19．（12分）【解】（1）用比例分配的分层随机抽样方法从这100盒牛排中抽取10盒，其中T骨牛排有3盒，非T骨牛排有7盒，再从中随机抽取4盒，设恰好有2盒牛排是T骨牛排为事件A，22CC321×337则PA()===；··································································5分4C2101010201（2）这100盒牛排中菲力牛排有20盒，所以菲力牛排的频率为=，·······6分1005设从这批牛排中随机抽取1盒，抽到菲力牛排的事件为B，1将频率视为概率，用样本估计总体可得PB()=，51从这批牛排中随机抽取3盒，抽到的菲力牛排的数量X满足XB3,，50320114641448PX(0=)C==,(1PX=)C==，335512555125学科网（北京）股份有限公司 230231412141PX(2=)C=33=,(3PX=)C==．························10分5512555125所以X的分布列为X01236448121P125125125125········································································································11分13所以EX()3=×=．··········································································12分5520．（12分）【解】（1）由等腰梯形ABCD中，AB=222CD=AD=，过C做CE⊥AB，交AB于E，连接AC，如图所示1根据对称性可得，BE=，2EB1所以cos∠==ABC，可得∠=°ABC60，BC2又由AB=2BC，222所以AC=+−⋅∠=BCAB2BCABcosABC3，即AC=3，222所以AC+=BCAB，即AC⊥BC，················2分又因为BC⊥AP，且ACAP=A，所以BC⊥平面APC，又由BC⊂平面ABC，所以平面APC⊥平面ABC.···································································5分（2）取AC的中点E，AB的中点F，以E为坐标原点，EA为x轴，EF为y轴，EP为z轴正方向建立空间坐标系，333则A,0,0，B−,1,0，C−,0,0，222131PD()0,0,，所以AP=−,0,，2223131AC=−(3,0,0)，PB=−−,1,，PA=,0,−，2222设平面APC的法向量为n=(x,,yz)，平面BPA的法向量为n=(xyz,,)，1111222231−+=xz011则22，令y1=1，得一个法向量n1=(0,1,0)，······8分−=30x1学科网（北京）股份有限公司 31−xyz+−=022222又，令x2=1，则yz22==3，31xz−=02222得一个法向量n2=(1,3,3)，···················10分nn⋅32112所以cos<nn12,>===，nn⋅1133×++71227所以sin<nn,>=12727所以二面角C−−PAB的平面角的正弦值为.······································12分721．（12分）【解】1（Ⅰ）设△PFF12内切圆的半径为r，则(PF1++PF2FF12)r=SPFF12，22SS∴r=PFF12=PFF12，22acac++∴当△PFF的面积最大时，△PFF内切圆的半径r最大，12121则当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PFF12的面积最大，最大值为××=2cbbc，2bcπ∴r的最大值为，又△PFF12内切圆面积的最大值为，ac+3bc3∴=，···························4分ac+3bc3=ac+3a=2c1xy22由=得：b=3，∴椭圆C的标准方程为：+=1．··5分a243222c=1abc=+（Ⅱ）设Pxy(00,)，Axy(11,)，Bxy(22,)，①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为xmy=1−1，xmy=2+1，xmy=−11229由xy22得：(3m11+4)y−6my−=90，∴yy01=−2，+=134m1+43学科网（北京）股份有限公司 x+1yx52+000x0=my10−1，∴m1=，∴=−，··········7分yy301xmy=+12yx0052−同理由xy22可得：=−，··············8分+=1y2343PF12PFyy0052+−x052x010∴+=−−=+=；·········10分FAFByy3331212②当y0=0时，直线PF1，PF2与x轴重合，则PF12PF110则+=+=3；···················11分FAFB3312PF12PF10综上所述：+为定值．·················12分FA12FB322．（12分）【解】（1）fx′()=lnx+1，f′(11)=，f(10)=，则切线方程为yx=−1设切线与ygx=()相切于点Pxy(,)，00aex0=1x1则y=ae0，解得：x=2，y=1，a=；···································3分0002eyx=−100x（2）①Gx()=xlnxae−，x>0，xGx′()=lnx+−1ae，lnx+1当Gx′()=0时，a=，xelnx+1若函数Gx()有两个极值点，即ya=与y=有两个交点，··················4分xelnx+1设hx()=(x>0)，xe1−−lnx11x，设tx()=−−lnx1，hx′()=xxe11tx′()=−−<0，即函数tx()在(0,+∞)上单调递减，且t(10)=，2xx∴在区间(0,1)hx′()>0，在区间(1,+∞)hx′()<0，∴hx()在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，························6分学科网（北京）股份有限公司 1并且h(1)=，当x→+∞时，hx()→0，当x→0时，hx()→−∞，e1若ya=与yhx=()有两个交点时，0<<a；········································7分ex22②Gx()=−=−fx()gx()xlnxae，当ae≥⇔≥2a，2exx2Gxxxa()=−≤−lnexxeln，·······················································8分2e2xxxeln−x令e2e2，Fx()==−⋅lnx2xxexxx1xee⋅−21ex(−1)2Fx′()=−⋅=−⋅，2222xxexxe显然01<<x时，Fx′()>0,∴Fx()在(0,1)上单调递增，2当x∈(0,1)时，FxF()<(10)=−<，·················································9分exx122ex(−11)−−(x)ex当x>1时，Fx′()=−⋅=−，2222xxexex−1x2exx21e令Hx()=−，x>1，Hx′()=2+>20，ex2−1e(x−1)∴Hx()在(1,+∞)上单调递增，又H(20)=,············································10分x∈(1,2)时，Hx()<0，当x∈(2,+∞)时，Hx()>0,∴当x∈(1,2)时，Fx′()>0，当x∈(2,+∞)时，Fx′()<0，∴Fx()在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，当x>1时，FxF()≤(2)=ln210−<，综上所述，GxFx()≤<()0，所以Gx()<0.····················································································12分学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司