浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（解析版）

2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．3210xy+−=1.直线的一个方向向量是（）A.(2,3−)B.(2,3)C.(−3,2)D.(3,2)【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.33【详解】因为直线3210xy+−=的斜率为−，所以直线的一个方向向量为1,−，223又因为(2,3−)与1,−共线，所以3210xy+−=的一个方向向量可以是(2,3−)，2故选：A.2.若{abc,,}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）A.bcbbc+,,−−B.a，ab+，ab−C.ab+，ab−，cD.ababcc+++,,【答案】C【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.第1页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【详解】对选项A：−−=−+bc()bc，因此向量bcbbc+,,−−共面，故不能构成基底，错误；1对选项B：a=(abab++−)()，因此向量a，ab+，ab−共面，故不能构成基底，错误；2对选项C：假设c=++−λµ(ab)(ab)，即cab=++−(λµ)(λµ)，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D：()abcabc++=++，因此向量ababcc+++,,共面，故不能构成基底，错误；故选：C3.“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f，则第四个单音的频率为（）11A.5fB.24fC.4fD.23f【答案】B【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为f，公比为122的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f，公比为122的等比数列{an}，1第四个单音的频率为af=×=(2)12324f.4故选：B.22224.“点(ab,)在圆xy+=1外”是“直线axby++=20与圆xy+=1相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解.2222【详解】命题p：点(ab,)在圆xy+=1外等价于ab+>1，222命题q：直线axby++=20与圆xy22+=1相交等价于<⇔+>14ab，22ab+第2页/共24页学科网（北京）股份有限公司 从而有pqq,⇒p，所以p是q的必要不充分条件.故选：B5.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（）A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】C【解析】【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，122若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有CCA=18种．332故选：C.6.A，B两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(xyii,)．A小组根据表中数据，直接对(xy,)作线性回归分析，得到：回归方程yxˆ=0.4699+0.235，决定系数222R=0.8732．B小组先将数据按照变换ux=，vy=进行整理，再对u，v作线性回归分析，得到：回2归方程vuˆ=−+0.50060.4922，决定系数R=0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（）A.0.4699xy−+0.235=0B.0.5006xy+−0.4922=022220.5006xyxy0.5006C.+=1D.+=10.49220.49220.49220.4922【答案】C【解析】【分析】由统计学知识可知，2R越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论．【详解】由统计学知识可知，2R越大，拟合效果越好，22又A小组的决定系数R=0.8732，B小组的决定系数R=0.9375，∴B小组的拟合效果好，则回归方程为vuˆ=−+0.50060.4922，第3页/共24页学科网（北京）股份有限公司 2222220.5006xy又uxvyy==∴=,,−0.5006x+0.4922，即+=1．0.49220.4922故选：C．7.设A，B，C，D是半径为1的球O的球面上的四个点．设OAOBOC++=0，则AD++BDCD不可能等于（）7A.3B.C.4D.322【答案】A【解析】【分析】根据条件，得到AD++=BDCD3，利用→→→→→→ADBDCD++≤++=++ADBDCDADBDCD判断等号成立条件，确定AD++BDCD不可能取的值.→→→→→→→→→→→→→→【详解】因为ADBDCD++=−+−+−=−++=(ODOA)(ODOB)(ODOC)3OD(OAOBOC)3OD，且OD=1，所以AD++=BDCD3，→→→→→→→→→而ADBDCD++≤++=++ADBDCDADBDCD，当且仅当ADBDCD,,同向时，等号成立，→→→而A，B，C，D在球面上，不可能共线，即ADBDCD,,不同向，所以AD++>++=BDCDADBDCD3且ADBDCD,,均小于直径长2，即AD++<BDCD6，综上，36<++<ADBDCD.根据选项可知A不符合.故选：A22xy8.设椭圆C:22+=>>1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上不与顶点重合的一点，记I为ab112△PFF12的内心．直线PI交x轴于A点，OA=c，且PFPF12⋅=a，则椭圆C的离心率为（）416第4页/共24页学科网（北京）股份有限公司 1233A.B.C.D.2242【答案】B【解析】PF11FA5a【分析】先利用角平分线性质得到==，设PF1=5t，则PF2=3t，根据椭圆定义得到t=，PF22AF34然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解.【详解】不妨设点P位于第一象限，如图所示，因为I为△PFF12的内心，所以PA为∠FPF12的角平分线，PF11FA1PF11FA5所以=，因为OA=c，所以==，PF22AF4PF22AF3设PF1=5t，则PF2=3t，由椭圆的定义可知，PF12+=PF82t=a，a5a3a可得t=，所以PF=，PF=，124445312又因为PFPF⋅=⋅PFPFcos∠=×⋅∠=FPFaFacosFPa，1212121244161所以cos∠=FPF12，在△PFF12中，由余弦定理可得，15217a222−4cPF1+−PF2FF1281cos∠=PFF==，1222PFPF15a15128222c2所以ac=2，则e==，2a2故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．第5页/共24页学科网（北京）股份有限公司 9.若函数fx()导函数的部分图像如图所示，则（）A.x是fx()的一个极大值点1B.x是fx()的一个极小值点2C.x是fx()的一个极大值点3D.x是fx()的一个极小值点4【答案】AB【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A选项，由图可知，在x左右两侧，函数fx()左增右减，x是fx()的一个极大值点，A11正确.对于B选项，由图可知，在x左右两侧，函数fx()左减右增，x是fx()的一个极小值点，B正确.22对于C选项，由图可知，在x3左右两侧，函数fx()单调递增，x3不是fx()的一个极值点，C错误.对于D选项，由图可知，在x4左右两侧，函数fx()左增右减，x4是fx()的一个极大值点，D错误.故选：AB.10.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A:“两次向上的点数之和大于7”，事件B:“两次向上的点数之积大于20”，事件C:“两次向上的点数之和小于10”，则（）5A.事件B与事件C互斥B.PAB()=722C.PBA()=D.事件A与事件C相互独立5【答案】AC【解析】【分析】列举出事件A、B、C所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用条件概率公式可判断C选项；利用独立事件的定义可判断D选项.第6页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，2以(mn,)为一个基本事件，则基本事件的总数为6=36，事件A包含的基本事件有：(2,6)、(3,5)、(3,6)、(4,4)、(4,5)、(4,6)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共15种，事件B包含的基本事件有：(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6种，事件C包含的基本事件有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(6,1)、(6,2)、(6,3)，共30种，对于A选项，事件B与事件C互斥，A对；对于B选项，事件AB包含的基本事件有：(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6种，61所以，PAB()==，B错；366nAB()62对于C选项，PBA()===，C对；nA()155155305对于D选项，PA()==，PC()==，3612366事件AC包含的基本事件有：(2,6)、(3,5)、(3,6)、(4,4)、(4,5)、(5,3)、(5,4)、(6,2)、(6,3)，共9种，91所以，PAC()==≠⋅PAPC()()，D错.364故选：AC.22xy11.设双曲线Ca:−=1(>0)，直线l与双曲线C的右支交于点A，B，则下列说法中正确2aaa−+4的是（）A.双曲线C离心率的最小值为4B.离心率最小时双曲线C的渐近线方程为30xy±=第7页/共24页学科网（北京）股份有限公司 C.若直线l同时与两条渐近线交于点C，D，则AC=BDD.若a=1，点A处的切线与两条渐近线交于点E，F，则S△EOF为定值【答案】BCD【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A；根据a=2可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B；将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C，D坐标，再由点差法求AB的中点坐标，然后可判断C；结合图形可知SSEOF=梯形EFQP−−SSOEPOFQ，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E，F的横坐标，代入化简可判断D.22aaa+−+442【详解】由题知，ea==+≥4，当且仅当a=2时等号成立，所以e的最小值为4，eaa的最小值为2，故A错误；22xy当a=2时，双曲线方程为−=1，266此时渐近线方程为yx=±，即30xy±=，B正确；2若直线l的斜率不存在，由对称性可知AC=BD；当斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，AxyBxy(,11),(,22)，AB的中点为Mxy(,)00，CD的中点为Nxy(,)3322xy11−=2122aaa−+4y0aa−+4kx0+maa−+4则，由点差法可得k⋅=，所以k⋅=，22xaxaxy2200−=1aaa2−+4amk所以x=，022a−+−a4ak2aa−+4又双曲线渐近线方程为yx=±，联立y=kx+m分别求解可得ammxx=,=CD22，aa−+44aa−+−−kk−aa第8页/共24页学科网（北京）股份有限公司 1mmamk所以xx30=+=22=，24aa22−+44aa−+a−+−aak−−kk−aa所以M，N重合，则AC=−=−=MCMAMDMBBD，或AC=+=+=MCMAMDMBBD，故C正确；22y若a=1，则双曲线方程为x−=1，渐近线方程为yx=±2，4不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为2yx=21−，xx12x1y′=，得切线斜率为，方程为y−21x11−=()xx−，222x−1x1−1x1−1设点E，F坐标分别为(xyxyEE,),(FF,)，分别作EPFQ,垂直于y轴，垂足分别为P，Q，E在第一象限，F在第四象限，则SSEOF=梯形EFQP−−SSOEPOFQ1111=+−(xxy)(y)−+=−xyxy(xyxy)EFEFEEFFFEEF22221又yE=2,xyEF=−2xF，所以SEOF=+=(2xxFE2xxEF)2xxEF，22x1221x−x−=()xx−EE112x−11联立渐近线方程和切线方程可解得，−−221xx2−=x1()xx−FF11x2−11xx112(2−)xx=2−−122E1xx−−1111整理得，−+(2xx11)xx=22−−1F1xx22−−1111第9页/共24页学科网（北京）股份有限公司 22xx11两式相乘得−−(422)xxEF=−4，所以xxEF=1，xx−−1111所以SEOF=22xxEF=，D正确.故选：BCD【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C选项需要灵活处理，将问题转化为AB的中点与CD的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D选项需结合图象将面积灵活转化，在求解xxEF时，要结合式子的结构特征灵活处理.xlnx12.已知曲线fx()=，gx()=，及直线ya=，下列说法中正确的是（）xexA.曲线fx()在x=0处的切线与曲线gx()在x=1处的切线平行1B.若直线ya=与曲线fx()仅有一个公共点，则a=eC.曲线fx()与gx()有且仅有一个公共点D.若直线ya=与曲线fx()交于点Axy(11,)，Bxy(22,)，与曲线gx()交于点Bxy(22,)，2Cxy(33,)，则xx13=x2【答案】ACD【解析】【分析】对与A选项，分别求出fx()在x=0处的切线与gx()在x=1处的切线即可判断；对于B选项，求出fx′()，即可判断出曲线fx()的单调性，画出草图则可判断；对于C选项，画出曲线fx()与gx()的草图，即可判断；对于D选项，借助图像可知直线ya=过曲线fx()与gx()的交点B,由此即可得出xxxlnlnx12==2=3，则可得xx=ln，x=ex2，lnxx⋅=ex22，则可得出xx=x2.eexxxx121232213223第10页/共24页学科网（北京）股份有限公司 xxxx′⋅−ee1−x⋅()′【详解】对于A选项：f(0=0)，fx′()=2=x，f′(01)=，(ex)e所以曲线fx()在x=0处的切线为：yx=；1ln−x同理g(10)=，gx′()=，g′(11)=，曲线gx()在x=1处的切线为yx=−1，2x即曲线fx()在x=0处的切线与曲线gx()在x=1处的切线平行，正确；1−x对于B选项：fx′()=，令fx′()=0，解得x=1，xe1所以曲线fx()在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，f(1=)，e又当x→−∞时fx()→−∞，当x→+∞时fx()→0，1若直线ya=与曲线fx()仅有一个公共点，则a=或a≤0，错误；e1ln−x对于C选项：曲线gx()的定义域为：(0,+∞)，gx′()=，2x令gx′()=0，解得x=e，1所以gx()在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，且gg(1)=0,(e)=，e所以曲线fx()与曲线gx()的大致图像为：易知当x∈(0,1)时，fx()>0，gx()<0，即曲线fx()与曲线gx()在区间(0,1)上无交点；1当x∈[1,e]时，fx()单调递减，gx()单调递增，且fg(1)=>=(1)0，e1e−−1f(e)e=<=ge()e，即曲线fx()与曲线gx()在区间(1,e)上有一个交点；1当x∈(e,+∞)时，记hx()=x−lnx，hx′()1=−，当x>e时hx′()0>恒成立，x即hx()在(e,+∞)上单调递增，即hxh()>(e)=−>e10，即xx>>ln1,第11页/共24页学科网（北京）股份有限公司 xxxlnln又曲线fx()在(1,+∞)上单调递减，所以fxfx()<(ln)，即<=，xxlneex即fxgx()<()恒成立，即曲线fx()与曲线gx()在区间(e,+∞)上没有交点；所以曲线fx()与gx()有且仅有一个公共点，正确;对于D选项：当直线ya=经过曲线fx()与gx()的交点时，恰好有3个公共点，xxxlnlnx1223且01e<<<<<xxx123，xx===,eexx1223由fx()()(12=fx=fxln)2，所以xx12=ln，由gx()()(=gx=ge)x2，所以x=ex2，233xx⋅=lnx⋅=ex2x2，正确.即1322故选：ACD【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．83613.(xyxy−+)()的展开式中xy的系数为________．【答案】−28【解析】83526xyxy−+()8的展开式中36【分析】利用()xy+的展开式通项公式求xyxy,项，然后可得()xy项，可得答案.8r8−rr【详解】()xy+的展开式通项公式Tr+18=Cxy，535626令r=5,6得T68=C,CxyT78=xy，83653562636所以(xyxy−+)()的展开式中xy项为C88xy⋅−+(y)Cxyx⋅=−28xy，36所以xy的系数为−28.故答案为：−2814.曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若fx′()是fx()的导函数，fx′′()是fx′()的导函数，第12页/共24页学科网（北京）股份有限公司 fx′′()K=则曲线yfx=()在点(xfx,())处的曲率3．已知fx()=cos(x−−1)lnx，则曲线221+(fx′())yfx=()在点(1,f(1))处的曲率为________．【答案】0【解析】【分析】求出原函数的导函数fx′()与导函数的导函数fx′′()，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】因为fx()=cos(x−−1)lnx，11所以fx′()=−sin(x−−1)，fx′′()=−−cos(x1)，2xx11则f′(1)=−−sin0=−1，f′′(1)=−=cos00，11f′′(1)0K===0所以曲线yfx=()在点(1,f(1))处的曲率为33.2222(11+(f′()))(11+−())故答案为：0.na满足a=8，a=2(−1)+nan≥∈2,nN*，数列{b}的前n项和为S，且15.已知数列{n}2nn−1()nnbn=log22221(aan+−⋅−n)log2221(aann⋅+)，则满足Sn−>50的正整数n的最小值为________．【答案】63【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列{bn}的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得Sn，解不等式可得答案.na=2(−1)+nan≥∈2,nN*，a=>80，【详解】因为nn−1()2a(−1)nn所以ann>=+0,2，an−1所以bn=log22221(aan+−⋅−n)log2221(aann⋅+)aa⋅aa2221nn+−22n+2n=log=log−log222aa⋅aa2nn21++−21n21n22nn+2(−−11)()=log2++−2nn2log2+222()()第13页/共24页学科网（北京）股份有限公司 =log22(2nn+−4)log(2+2)24n+所以Sn=log6log4log8log62222−+−+⋅⋅⋅+log2(2nn+4)−log2(2+2)=log2，424n+n+2因为Sn−>50，所以log22>=5log32，即>32，解得n>62，42*因为n∈N，所以正整数n的最小值为63.故答案为：63x+2π16.设函数fx()=2+cosx，则使得fx(+>12)fx()成立的x的取值范围是________．25【答案】−,13【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解.x+2πxxππ【详解】由fx()=2+cosx向右平移2个单位，得gx()=+2cosx−=−π2cosx222为偶函数，所以gx()关于y轴对称，所以fx()关于x=−2对称，xππ当x≥0时，gx′()=2ln2+sinx，22π当x∈[0,2]时，因为sinx≥0，所以gx′()>0，22π当x∈(2,+∞)时，gx′()>>2ln2−0，2所以gx()在上单调[0,+∞)递增，在(−∞,0)上单调递减，所以fx()在(−∞−,2)上单调递减，在(−+∞2,)上单调递增，225由fx(+>12)fx()得xx++>+1222，即(xx+>+322)()，解得−<<x1，35所以使得fx(+>12)fx()成立的x的取值范围是−,1.3第14页/共24页学科网（北京）股份有限公司 5故答案为：−,1.3【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在四面体ABCD中，AE=λAB，AH=λAD，CF=(1−λ)CB，CG=(1−λ)CD，λ∈(0,1)．（1）求证：E、F、G、H四点共面．1（2）若λ=，设M是EG和FH的交点，O是空间任意一点，用OA、OB、OC、OD表示OM．3【答案】（1）证明见解析4212（2）OM=+++OAOBOCOD9999【解析】【分析】（1）证明出EHFG//，即可证得结论成立；1EMEH11（2）由（1）可得出EH=FG，可得出EHFG//，则==，由此可得出EM=MG，再2MGFG22结合空间向量的线性运算可得出OM关于OA、OB、OC、OD的表达式.【小问1详解】证明：因为EH=−=−=AHAEλλλADABBD，FG=−=−CGCF(111λλλ)CD−−()CB=−()BD，λ所以EH=FG，则EHFG//，因此E、F、G、H四点共面．1−λ【小问2详解】11121解：当λ=时，AE=AB，即OEOA−=(OBOA−)，可得OE=OA+OB，333332212因为CG=CD，即OGOC−=(ODOC−)，可得OG=OC+OD，3333第15页/共24页学科网（北京）股份有限公司 121由（1）知，EH=BD，FG=BD，因此EH=FG，332又因为EH、FG不在同一条直线上，所以，EHFG//，EMEH111则==，则EM=MG，即OM−=OE(OGOM−)，MGFG22221221112所以，OM=+=OEOGOA++OBOC+OD333333334212=+++OAOBOCOD.9999*18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且SS42=4，aan2nn=+∈21N().（1）求数列{an}的通项公式.（2）若{an}中的部分项abn组成的数列{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.*【答案】（1）annn=−∈21N()n（2）T=21−n【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出{bn}的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可.【小问1详解】*设差数列{an}的公差为d，则由SS42=4，aan2nn=+∈21N()4684adad11+=+a1=1*可得，解得，因此annn=−∈21N().andand11+−=+−+(212211)()d=2【小问2详解】由ann=21−，得abbnn=21−，nn又由{abn+1}是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得abn+=12，因此22bn=，nn−112−n所以bn=2，所以Tn==21−.12−19.如图，在三棱柱ABCABC111中，所有棱长均为2，∠=AAC160，AB1=6．第16页/共24页学科网（北京）股份有限公司 （1）证明：平面AACC11⊥平面ABC．（2）求平面BAB11与平面ABC111的夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；25（2）．5【解析】【分析】（1）取AC中点M，证明AM1⊥BM，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答.（2）利用（1）中信息作出平面BAB11与平面ABC所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答.【小问1详解】三棱柱ABCABC111的所有棱长均为2，取AC中点M，连接AM1，BM，则BM⊥AC，由AA1=AC，∠=AAC160，得△AAC1为等边三角形，则AM1⊥AC，222显然AM1=BM=3，而AB1=6，则AM11+=BMAB，有AM1⊥BM，又ACBM=M，ACBM,⊂平面ABC，于是AM1⊥平面ABC，而AM1⊂平面AACC11，所以平面AACC11⊥平面ABC．【小问2详解】在三棱柱ABCABC111中，平面ABC111//平面ABC，因此平面BAB11与平面ABC111的夹角的正弦值与平面BAB11与平面ABC的夹角的正弦值相等，由（1）知AM1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，则AM1⊥AB，过M作MN⊥AB于点N，连接AN1，第17页/共24页学科网（北京）股份有限公司 有AM1⊥MN，MNAM11=MMNAM,,⊂平面AMN1，于是AB⊥平面AMN1，而AN1⊂平面AMN1，则AN1⊥AB，因此∠ANM1为平面BAB11与平面ABC所成二面角的平面角，322315显然MN=⋅=AMsin60，而AM1=3，则AN11=AM+MN=+=3，从而242AM251sin∠==ANM，1AN5125所以平面BAB11与平面ABC111的夹角的正弦值为．520.第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列22×列联表，并根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人出行方式国际大都市中小型城市合计偏好地铁20100偏好其他60合计60*（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成MM(∈N)段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为pn，易知p1=1，p2=01①试证明pn−为等比数列；4②设第n次David选择共享单车的概率为qn，比较p5与q5的大小．第18页/共24页学科网（北京）股份有限公司 22nad()−bc附：χ=，nabcd=+++．(abcdacbd++++)()()()α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【答案】（1）表格见解析，有关系（2）①证明见解析；②pq55>．【解析】2【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出χ，再对照临界值表即可得出结论；（2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论；②先求出pn的表达式，进而可求出pq55,，即可得解.【小问1详解】列联表如下：出行方式国际大都市中小型城市合计首选地铁8020100首选其他6040100合计14060200零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，2220080402060(×−×)χ=≈>9.5246.635，10010014060×××根据小概率值α=0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；【小问2详解】①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为pn，则当n≥2时，第n−1段行程上David坐地铁的概率为pn−1，不坐地铁的概率为1−pn−1，第19页/共24页学科网（北京）股份有限公司 111则pp=⋅+−01(p)⋅=−p+，nn−−−111nn333111从而ppnn−=−−1−，43413131又p1−=，所以pn−是首项为，公比为−的等比数列；44443n−1311②由①可知p=−+，n4344311111则p5=−+>，又qp55=−<(1)，故pq55>．434434221.设抛物线Cy:=2pyp(>0)，过焦点F的直线与抛物线C交于点Axy(11,)，Bxy(22,).当直线AB垂直于x轴时，AB=2.（1）求抛物线C的标准方程.（2）已知点P(1,0)，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.①求证：直线CD过定点；②求PAB与PCD面积之和的最小值.2【答案】（1）Cy:2=x5（2）①证明见解析；②.2【解析】【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【小问1详解】第20页/共24页学科网（北京）股份有限公司 p由题意，当直线AB垂直于x轴时，x1=，代入抛物线方程得yp1=±，则AB=2p，所以22p=，22即p=1，所以抛物线Cy:2=x.【小问2详解】1（i）设Cxy(33,)，Dxy(44,)，直线ABx:=my+，222与抛物线Cy:2=x联立，得y−2my−=10，因此yym12+=2，yy12=−1.22设直线ACx:1=ny+，与抛物线Cy:2=x联立，得y−−=220ny，−2−2因此yyn13+=2，yy13=−2，则y3=.同理可得y4=.yy12yyyy−−22yy1343412k=====−=CD−++22−−222所以xxyyyyyym.343−434+1222yy12因此直线CDx:2=my(−+y33)x，由对称性知，定点在x轴上，令y=0得，22y−−2124m23x=−+=222myx−+=my−+m=+333222yyyy11112(yy12+)21y2yy12+1=+=+22+=+⋅22=2，222yyyyy11111所以直线CD过定点Q(2,0).11（ii）因为SPAB=PFyy⋅−=−12yy12，24112211−−yy−12SPCD=PQy⋅−=34y−=−==−y12y，22yyyyyy121212555522所以S+S=yy−=44m+=m+≥1，PABPCD1244225当且仅当m=0时取到最小值.22x22.设函数fx()=(x−−1)eax，若曲线fx()在x=0处的切线方程为y=−+2xb．（1）求实数ab,的值．（2）证明：函数fx()有两个零点．第21页/共24页学科网（北京）股份有限公司 xx+′12．（3）记fx′()是函数fx()的导数，x，x为fx()的两个零点，证明：fa>−122a=1【答案】（1）b=1（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义代入f′(02)=−即可得ab,的值；（2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论；（3）利用（1）（2）中的结论，结合fx()单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问1详解】2x由题意可得fxx′()=−−(1e)a，由切线方程可知其斜率为−2，f′(0)=−2,a=1所以，解得．fb(0,)=b=1【小问2详解】2x2x由fx()=0可得(xx−1)e−=0，所以(x−−=1)0；xe2x函数fx()有两个零点即函数gx()=−−(x1)有两个零点．xe1gx′()=−+(x12)，xe当x<1时，gx′()<0，gx()单调递减；当x>1时，gx′()>0，gx()单调递增．12又g(010)=>，g(10)=−<，g(21)=−>0，2ee所以gg(010)()<，gg(120)()<，由零点存在定理可得∃∈x1(0,1)使得gx(1)=0，∃∈x2(1,2)使得gx(2)=0，所以函数fx()有两个零点．第22页/共24页学科网（北京）股份有限公司 【小问3详解】2x由（1）（2）知fx()=(x−−1)ex，2x可得fxx′()=−−(1e1)且012<<<<xx12．2xx+xx+xx+12′12，即证明122要证明fa>−−1e−>−11，22即证明xx12+>2．令hxgxg()=()−(2−x)(0<<x1)，则xx2−11(1ee−−x)()hxgxg′()=′′()+(2−=−x)(x12)++−(1x)2+=<0，xx22−eee因此hx()单调递减，则hxh()>=(10)．因此hx(1)>0，即gx(11)>−g(2x)，又012<<<<xx12，所以gx(21)>gx()；即gx(21)>−g(2x)，又x2，2−∈x1(1,2)，且gx()在(1,2)上单调递增，因此xx21>−2，即xx12+>2．命题得证．xx+′12转化成求证【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式fa>−xx12+>2，2然后再利用构造函数利用函数单调性证明.第23页/共24页学科网（北京）股份有限公司 第24页/共24页学科网（北京）股份有限公司