第2章四边形2.7正方形课件（湘教版八下）

正方形湘教·八年级下册 新课导入装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？正方形的四条边都相等，四个角都是直角.正方形既是矩形又是菱形. 做一做：用一张长方形纸片折出一个正方形. 我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.定义有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角 说一说，正方形具有哪些性质？正方形的四条边都相等.AB=BC=CD=DA正方形的四个角都是直角.∠A=∠B=∠C=∠D=90°正方形的对角线相等，且互相垂直平分.AC=BD且AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 说一说，正方形具有哪些性质？由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 证明∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，∠A=∠DCF=90°.∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°,即∠1+∠3=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.∴△AED≌△CFD（ASA）.∴DE=DF.如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.求证：DE=DF.【教材P73】 观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？ 证明【教材P73】如图，已知点A′，B′，C′，D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形A′B′C′D′是正方形.∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=DA.又∵AA′=BB′=CC′=DD′，∴D′A=A′B=B′C=C′D.又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′.∴A′D′=B′A′=C′B′=D′C′.∴四边形A′B′C′D′是菱形.又∵∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴∠2+∠3=90°.∴∠D′A′B′=90°.∴四边形A′B′C′D′是正方形. 边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形对边平行且相等对角相等两条对角线互相平分中心对称对边平行且相等四个角都是直角两条对角线互相平分且相等轴对称中心对称对边平行，四条边都相等对角相等两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角轴对称中心对称几种特殊四边形的性质对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角轴对称中心对称 特殊四边形的常用判定方法平行四边形（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等矩形（1）有三个角是直角；（2）有一个角是直角的平行四边形；（3）两条对角线相等的平行四边形菱形（1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形正方形（2）有一组邻边相等的矩形；（3）有一个角是直角的菱形平行且相等;（1）有一个角是直角的有一组邻边相等的平行四边形； 练习【教材P74】已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.解：设正方形的边长为xcm，根据勾股定理，得x2＋x2=42，∴x2=8，∴x=.∴S正方形=x2=8(cm2).∴正方形的边长为cm，面积为8cm2. 2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？理由：由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得此矩形的四条边都相等，即为正方形.【教材P74】答：是正方形. 随堂练习【教材P74】如图，在正方形ABCD的外侧作等边△DCE，求∠AEB的度数.易知△DAE为等腰三角形，∠ADE=150°.∵∠DEA=∠DAE=15°.同理∠CEB=15°.∵△DCE为等边三角形，∴∠DEC=60°.∴∠AEB=60°-15°-15°=30°.解 【教材P74】如图，将正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA顺次延长至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH.求证：四边形EFGH是正方形.在Rt△EAH和Rt△FBE中，∵BF=AE，BE=AH，∴Rt△EAH≌Rt△FBE.∴HE=EF.同理可证：EF=FG=GH.由此得四边形EFGH是菱形.∵∠AEH+∠AHE=90°，又∠AHE=∠BEF，即∠HEF=90°.∴四边形EFGH为正方形.证明 ∵OF⊥AC于F，OG⊥BC于G，∴∠OGC=∠C=∠CFO=90°.∴四边形OGCF是矩形.过点O作OH⊥AB于H.∵∠BAC，∠ABC的平分线AD，BE相交于点O，∴OF=OH=OG.∴四边形OGCF是正方形.【教材P74】如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G.求证：四边形OGCF是正方形.证明H 1.说一说正方形的定义。2.正方形有哪些性质？3.如何判定一个四边形是正方形？课堂小结