第1章直角三角形1.4角平分线的性质第2课时角平分线的性质定理及其逆定理的综合应用课件（湘教版八下）

角平分线性质定理及其逆定理的综合应用湘教版·八年级数学下册① 情境导入PS区公路铁路一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上.（1）怎样修建路最短？（2）这两条路修好后，有什么关系？EF解：（1）如图；（2）PE=PF； 新课引入如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢?解：可以添加条件MN=ME(或MN=MF).∵ME⊥CD，MN⊥CA，∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.同理可得AM是∠CAB的平分线. 如图1-30，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.新课引入例2解：∵AP是∠DAC的平分线，又PE⊥DB，PF⊥AC，∴PE=PF.在△EBP中，BE+PE>PB∴BE+PF>PB.【教材P25】 探究新知如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗?ABC图1-31P因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角(例如∠A与∠B)的平分线，其交点P即为所求作的点.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 探究新知如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗?ABC图1-31MPDFE∵BM是∠ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理，PD=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.由此得到： 巩固练习1.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，求证:（1）∠ECD=∠EDC；（2）OC=OD.证明：（1）∵OE是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC=ED.∴∠ECD=∠EDC.（2）在Rt△ECO和Rt△EDO中，∵EC=ED，OE为公共边，∴Rt△ECO≌Rt△EDO(HL).∴OC=OD.[选自教材P25练习第1题] 巩固练习2.如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.求证:AB=AD+BE.证明：过点C作CF⊥AB于点F.又AC是∠BAD的平分线，CD⊥AD，∴CF=CD.在Rt△CFA和Rt△CDA中，∵CF=CD，AC为公共边，∴Rt△CFA≌Rt△CDA(HL).∴AF=AD.同理可得FB=BE.AB=AF+FB=AD+BE.F[选自教材P25练习第2题] 巩固练习3.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证:PM=PN.证明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD.又BA=BC，BD为公共边，∴△ABD≌△CBD(SAS).∴∠ADB=∠CDB.又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN.[选自教材P26习题1.4A组第3题] 巩固练习4.如图，求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边OA，OB的距离相等.P解：作法如图.[选自教材P26习题1.4B组第4题] 巩固练习5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F，试问点F在∠A的平分线上吗?(提示:过F点分别向BD，BC，CE作垂线)解：过点F作FH⊥AD于H，FG⊥BC于G，FR⊥AE于R，则可得FH=FG=FR.∴点F在∠A的平分线上.[选自教材P26习题1.4B组第5题] 说一说本节课的收获.你还存在哪些疑惑？课堂小结12