第1章直角三角形直角三角形的性质和判定Ⅰ同步练习（附答案湘教版八下）

1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边BC=4cm，最长边AB的长是()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm2.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是()A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm3.等腰三角形的顶角是一个底角的4倍，如果腰长为10cm，那么底边上的高为()A.10cmB.5cmC.6cmD.8cm4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则()A.AB=2ACB.AC=2ABC.AB=ACD.AB=3AC5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，且BD∶DC=2∶1，则∠B满足()A.0°＜∠B＜15°B.∠B=15°C.15°＜∠B＜30°D.∠B=30°6.等腰三角形一腰上的高等于这个三角形一条边长度的一半，则其顶角为()A.30°B.30°或150°C.120°或150°D.30°或120°或150°7.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则∠A等于()A.25°B.30°C.45°D.60°二、填空题(本大题共6小题)8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB=8，则DE的长度是__________.9,9.在△ABC中,如果∠A+∠B=∠C,且AC=AB,那么∠B=__________.10.如图，AC=BC=6cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为______．11.如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为__________米.12.在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，它的最长边是8cm，求它的最短边的长是。13.如图所示，已知∠1=∠2，AD=BD=4，CE⊥AD，2CE=AC，则CD的长是.三、计算题(本大题共4小题)14.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点.求证：CD⊥AB.9,15.如图△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，求证：BD=AB．16.如图，已知某船于上午8点在A处观测小岛C在北偏东60°方向上.该船以每小时40海里的速度向东航行到B处，此时测得小岛C在北偏东30°方向上.船以原速度再继续向东航行2小时到达小岛C的正南方D点.求船从A到D一共走了多少海里？解17.已知如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AC,CD=2,BD=1,求∠C的度数.9,参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.D分析：首先根据角的比的关系可以判断三角形是直角三角形，从而根据中线性质得到最长边的长度。解：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC是直角三角形，根据直角三角形中线性质可得斜边AB为8cm，故选D。2.C分析：根据直角三角形中一角为30°的性质可解答。解：在Rt△ABC中∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC=90°∴∠ACD=∠B=30°（同角的余角相等）∵AD=2cm在Rt△ACD中，AC=2AD=4cm在Rt△ABC中，AB=2AC=8cm∴AB的长度是8cm．故选C.3.B分析：根据等角三角形的角的关系进行计算可得顶角大小，从而根据直角三角形一锐角为30度的性质可的高长。解：设此三角形的底角是x，则顶角是4x，则2x+4x=180°，解得x=30°，则顶角是120°，如右图，在Rt△ABD中，AB=10，∠B=30°，∴AD=AB=5．故选B．4.A分析：根据直角三角形一直角为30度的性质可得。解：在Rt△ABC中，因为∠C=90°，∠B=30°所以AB=2AC，故选A。5.D9,分析：根据直角三角形中角平分线的性质可得到答案。解：解；过点D作DE⊥AB，∵在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，∴ED=CD，∵BD：DC=2：l，DE⊥AB，∴BD/E=2/1，∴∠B=30°．故选D．6.D分析：分两种情况进行讨论解决。解：（1）腰上的高是“腰”长的一半----->顶角＝30°或150°(在直角三角形中,30度所对的边为斜边的一半)（2）腰上的高是“底边”长的一半--->底角＝30°顶角=120。故选D。7.B分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到EC=AE,从而得到∠A=∠ACE，再由折叠的性质和三角形的外角性质得到∠B=2∠A,从而不难求得∠A的度数。解：∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴AE=CE，∴∠A=∠ACE，∵△CED是由△CBD折叠而成，∴∠B=∠CED，∵∠CEB=∠A+∠ACE=2∠A，∴∠B=2∠A，∵∠A+∠B=90°，∴∠A=30°．故答案为：30．故选B.二、填空题(本大题共6小题)8.分析：根据直角三角形斜边中线性质可解答得到。解：解：∵D为AB的中点，AB=8，9,∴AD=4，∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，∴DE=AD=2，故答案为：2．9.分析：根据三角的关系可以判断三角形为直角三角形，再根据斜边与直角边的关系得到。解：因为∠A+∠B=∠C，所以∠C=，又因为AC=AB，所以∠B=。10.分析：根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．解：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC=15°，∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°，∵AD⊥BC，∴AD=AC=×6cm=3cm．故答案为3cm．11.分析：根据直角三角形一直角为30度的性质解得。解：如图，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，∴AB=2CB，而BC=4米，∴AB=8米，∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=12米．故答案为：12．9,12.解：设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，∵x+2x+3x=180°，∴x=30°.∴∠C=90°.∵AB=8cm，∴BC=4cm.故最短的边的长是4cm.13.分析：在Rt△AEC中，由于=，可以得到∠1=∠2=30°，又AD=BD=4，得到∠B=∠2=30°，从而求出∠ACD=90°，然后由直角三角形的性质求出CD．解：在Rt△AEC中，∵2CE=AC，∴∠1=∠2=30°.∵AD=BD=4，∴∠B=∠2=30°.∴∠ACD=180°-30°×3=90°.∴CD=AD=2.三、计算题(本大题共4小题)14.分析：由∠ACB=90°，M为AB的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CM=AB=BM，再根据在直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得到CB=AB=BM，则CM=CB，而D为MB的中点，根据等腰三角形的性质即可得到结论．证明：∵∠ACB=90°，M为AB中点，∴CM=AB=BM.∵∠ACB=90°，∠A=30°，9,∴CB=AB=BM.∴CM=CB.∵D为MB的中点，∴CD⊥BM，即CD⊥AB.15.分析：根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求出BC=AB，再求出∠BCD=30°，再次利用性质解答即可得证．证明：∴BC=AB，（直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半），∵CD是高，∴∠ADC=90°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴BD=BC，∴BD=AB．16.解分析：根据直角三角形30度所对的直角边等于斜边的一半，先求出BC的长度，再根据两个方位角可证明AB=BC，然后AB与BD相加即可得解。解：由题意知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°.在△BCD中，∠CBD=60°，∴∠BCD=30°.∴AB=BC=2BD.∵船从B到D走了2小时，船速为每小时40海里，∴BD=80海里.∴AB=BC=160海里.9,∴AD=160+80=240(海里).因此船从A到D一共走了240海里.17.解：取CD的中点E,连接AE,∵AD⊥AC,∴∠CAD=90°.∵E是CD的中点,CD=2,∴AE=CD=DE=CE=×2=1.∵BD=1,∴BE=CD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD（SAS）.∴AD=AE=1=CD.又∵∠CAD=90°,∴∠C=30°.9