第1章直角三角形角平分线的性质同步练习（附答案湘教版八下）

1.4.1角平分线的性质同步练习一、选择题(本大题共8小题)1.用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）A．SASB．AASC．SSSD．ASA2.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）A、PD＝PE　　B、OD＝OE　　C、∠DPO＝∠EPO　　D、PD＝OD3.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（　　）A．10B．20C．15D．254.如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）A．OD＞OEB．OD＜OEC．OD=OED．不能确定5.如图所示，D，E分别是△ABc的边AC．Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°12,6.下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A.B.平分C.D.垂直平分8.如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③二、填空题(本大题共6小题)9.如图，P是∠AOB的角平分线上的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可）.10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，则点D到BC12,的距离为________cm．11.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为　　．12.如图所示在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB=6厘米，则△DEB的周长是　　　　　　厘米．13.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为　　．14.如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　　．三、计算题(本大题共4小题)15.已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，12,BD＝CD，求证：∠B＝∠C.AFCDEB16.如图，画∠AOB=90°，并画∠AOB的平分线OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．17.如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP是线段CD的垂直平分线．18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：AC=AE；（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．12,19.如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题．（1）如图1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）（2）如图1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．12,参考答案：一、选择题(本大题共8小题)1.C分析：直接根据角平分线的性质进行解答即可．解：根据尺规作图中相等的条件可得到答案为C.2.D分析：直接根据角平分线的性质进行解答即可．解：解：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，∴PD=PE,∴Rt△POE≌Rt△POD,∴PD＝PE,∠DPO＝∠EPO,OD＝OE.故选D。3.C分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DC=DE，然后求出BD的长，再根据BC=BD+DE代入数据进行计算即可得解．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵点D到AB的距离为6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故选C．4.C分析：根据三角形的角平分线相交于一点，连接AO，则AO平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．12,解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故选C．5.D分析：易证∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°解：根据已知条件可证明∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°故选D。6.B分析：逐个对上列说法进行分析即可得到。解：①是在角平分线上才可以故选项错误。②正确；③根据定义判断正确；④仅到角的两边距离相等，错误。选B.7.D分析：本题要从已知条件OP平分∠AOB入手，利用角平分线的性质，对各选项逐个验证，选项D是错误的，虽然垂直，但不一定平分OP．解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，∴△OPA≌△OPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A、B、C项正确，设PO与AB相交于E，∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直AB，而不能得到AB平分OP.故选D。8.A分析：结合已知条件进行逐个分析判断。解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；12,点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，综上所述，正确的是①②③④．故选A.二、填空题(本大题共6小题)9.分析：由已知条件，根据角平分线性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．可得PC=PD．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分线性质）．故填PC=PD．10.分析：本题考查的是角平分线的性质解：根据角平分线的性质即可得到结果.∵∠A＝9∴0°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，∴点D到BC的距离为2cm.11.分析：首先过点P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值．解：过点P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值为3．12.分析：根据角平分线的性质即可证得AC=AE，CD=DE，据此即可证得△DEB的周长等于AB的长．解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°，∴CD=DE，DA平分∠EDC．12,∴AC=AE，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE又∵BC=AC∴△DEB的周长=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米．故答案是：6．13.分析：根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．解：过点P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案为：4．14.分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．12,三、计算题(本大题共4小题)15.分析：由角平分线的性质可得DE=DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B=∠C．证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB与Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．16.分析：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，求出PM=PN，∠PME=∠MPE=∠NPF，证△PME≌△PNF即可．解：PE=PF，理由是：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，则∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．12,17.分析：（1）由角平分线的性质易得PC=PD，根据等边对等角即可得出∠PCD=∠PDC；（2）易证△POC≌△POD，则OC=OD，根据线段垂直平分线的性质逆定理可得OP垂直平分CD．解：（1）∠PCD=∠PDC．理由：∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，∴∠PCD=∠PDC；（2）OP是CD的垂直平分线．理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，在Rt△POC和Rt△POD中，，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC=OD，由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，从而OP是线段CD的垂直平分线．18.分析：根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD即可．解：（1）证明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，12,∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．19.分析：根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条相等，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形确定，它们关于OP对称．（1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解；（2）根据图1的作法，在AC上截取AG=AF，则EF=FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判断EF=FD；（3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）．解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD，则△OAD与△OBD全等，如图l一114（1）所示．（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD．（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立．证法1：如图1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG．由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD．由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD．证法2：如图1—114（3）所示，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，FI⊥AC于点I．因为∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，所以∠2十∠3=60°，∠EFA=∠2＋∠3=60°，所以∠GEF=60°＋∠1．由角平分线的性质可得FG=FI=FH．又因为∠HDF=∠B＋∠1，所以∠GEF=∠HDF．因此由∠EGF=∠DHF，∠GEF=∠HDF，FG=FH可证AEGF≌△DHF，所以FE=FD12