第3章因式分解小结与复习课件（湘教版）

小结与复习湘教版·七年级数学下册③ 本章知识结构概念因式分解的方法提公因式法公式法因式分解习题点击方框可跳转到相应页面 一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个因式.f=gh运用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确.结构图 提公因式时，如果多项式的首项为负数，一般先把负号提出来，并把括号内的各项变号.当多项式各项有系数时，要先确定公因式的系数，就是各多项式系数的最大公约数.当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的.提公因式法结构图 因式分解时，如何确定多项式的公因式？公因式为单项式时：1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数．2.定字母：找多项式各项相同的字母．3.定指数：相同字母的最低的次数.当公因式为多项式时，把相同字母换成相同式子.因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止.结构图 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2反过来进行因式分解a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)公式法结构图 结构图1.把下列多项式因式分解：（1）x2-xy+x；（2）m2n-mn2+mn；（3）9x3y3-21x3y2+12x2y2；（4）x2(x-y)+y2(x-y).=x(x-y+1)=mn(m-n+1)=3x2y2(3xy-7x+4)=(x2+y2)(x-y) 结构图2.把下列多项式因式分解：（1）x2-9；（2）49m2-81n2；=(x+3)(x-3)=(7m+9n)(7m-9n) 结构图3.把下列多项式因式分解：（1）4x2+20x+25；（2）x4+6x2+9；（3）x4-18x2+81；（4）(x-y)2+2(x-y)w+w2；（5）4a4+12a2b2+9b4.=(2x+5)2=(x2+3)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2=(x-y+w)2=(2a2+3b2)2 结构图4.把下列多项式因式分解：（1）-6x2+12x-6；（2）-9x2+24xy-16y2；（4）(x+y+1)2-(x-y+1)2；=-6(x2-2x+1)=-6(x-1)2=-(9x2-24xy+16y2)=-(3x-4y)2（3）a2(a-b)+2ab(a-b)+b2(a-b).=(a-b)(a2+2ab+b2)=(a-b)(a+b)2=(x+y+1-x+y-1)(x+y+1+x-y+1)=2y(2x+2)=4y(x+1) 4.把下列多项式因式分解：（5）x4-16；（6）x4-16y4.=(x2-4)(x2+4)=(x+2)(x-2)(x2+4)=(x2-4y2)(x2+4y2)=(x-2y)(x+2y)(x2+4y2) 结构图5.计算：（1）17×0.11+37×0.11+46×0.11；（2）2562-1562.=(17+37+46)×0.11=11=(256+156)(256-156)=41200 结构图6.把下列多项式因式分解：（1）y2-(x2-10x+25)；（2）(a2-9b2)+(a-3b)；（3）(x3-x2)+(x-1)；（4）ax-bx-ay+by.=y2-(x-5)2=(y+x-5)(y-x+5)=(a-3b)(a+3b)+(a-3b)=(a-3b)(a+3b+1)=x2(x-1)+(x-1)=(x2+1)(x-1)=x(a-b)-y(a-b)=(x-y)(a-b) 7.把下列多项式因式分解：（1）(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)；（2）x3z-4x2yz+4xy2z.结构图=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-b)=xz(x2-4xy+4y2)=xz(x-2y)2 8.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体,它的内径d=68cm，外径D=88cm，长h=200cm.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土(结果保留π)？怎样计算较简便？结构图答：需要0.156π立方米的混凝土.156000πcm3=0.156πm3 9.先化简，再求值：(a+b)2+2(a+b)(a-b)+(a-b)2，其中a=，b=1.结构图解(a+b)2+2(a+b)(a-b)+(a-b)2=(a+b+a-b)2=4a2当a=，b=1时.原式=1 10.已知2x-1=3，求代数式(x-3)2-2(x-3)+1的值.结构图=(x-3-1)2解(x-3)2-2(x-3)+1=(x-4)2因为2x-1=3，所以x=2.原式=4. 11.把下列多项式因式分解：（1）x2-4y2+x+2y；（2）(x+y)2-4(x+y-1)；（3）xn+1-2xn+xn-1(n是大于1的正整数).结构图=(x+2y)(x-2y)+(x+2y)=(x+2y)(x-2y+1)=(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2=xn-1(x2-2x+1)=xn-1(x-1)2 12.你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？(1)上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？(2)常数项6是哪两个因数的乘积？一次项系数5是否等于6的某两个因数的和？结构图不能.1×6=2×3=6，5=2+3 (3)由多项式乘法，(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解.多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和.你能据此将x2+5x+6写成两个一次多项式的乘积吗？请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于x2+5x+6.x2+(____+____)x+____×____=(x+____)(x+____)232323 (4)从第(3)题，你能看出把x2+5x+6进行因式分解的关键步骤是什么吗？(5)你能运用上述方法将多项式x2-x-2进行因式分解吗？结构图关键步骤是将常数项分解为某两个因数的积，且这两个因数的和等于一次项的系数，如6=2×3，2+3=5.x2-x-2=x2+[1+(-2)]x+1×(-2)=(x+1)(x-2)