第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质教案（北师大版九上）

1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质教学目标【知识与能力】1.了解矩形的定义，感受矩形与平行四边形之间的联系，并能通过推理得到矩形的性质.2.发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，并能熟练运用矩形的性质．【过程与方法】经历探索矩形的定义及性质的过程，通过直观操作和简单的说理过程，发展学生的合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法．【情感态度价值观】进一步培养学生的逻辑推理能力，感受数学与生活的紧密联系，培养学生学数学、用数学的意识．教学重难点【教学重点】矩形定义及其性质的发现过程．【教学难点】矩形的性质在解决问题中的应用．课前准备多媒体课件、平行四边形模型、三角板.教学过程教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】教师：我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质．大家还记得平行四边形都有哪些特殊的性质吗？学生：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分．教师：同学们掌握得非常熟练，这些都是平行四边形相对于普通四边形而言所具有的特殊的性质，同样对于平行四边形来说还有一些更特殊的平行四边形，例如我们之前学习的菱形，今天我们就来研究另一种特殊的平行四边形——矩形．(教师板书课题：第1课时　矩形的性质)通过对平行四边形性质的复习，巩固所学的知识，同时，利用平行四边形是特殊的四边形引导学生思考：还有没有特殊的平行四边形？进而引入新课．学生对矩形的概念有基本的了解，比较容易想到和接受.活动二：实践探究【探究1】矩形的定义教师：同学们知道矩形特殊在什么地方吗？我们来看一下矩形的定义：(课件展示变化的过程)-6- 交流新知图1－2－10定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．【探究2】矩形的性质定理教师：同学们还有什么发现？学生：矩形是特殊的平行四边形．教师：所以矩形具有平行四边形的所有性质，即矩形的一般性质：具备平行四边形所有的性质．(课件展示)请同学们画出一个矩形，结合图形探究一下，矩形除了具有平行四边形的性质外还有哪些特殊的性质呢？学生动手画图，结合图形思考并给出结论．教师结合学生给出的结论引导学生分别从边、角、对角线三个方面来探究．学生：边：矩形的对边平行且相等．角：矩形的对角相等．对角线：矩形的对角线互相平分．教师：这些都是平行四边形具有的性质，我们说矩形是特殊的平行四边形，那么它特殊在什么地方？(展示矩形图形)学生猜想：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．教师：同学们给出了两个特殊的性质，对不对呢？我们一起来验证一下：(课件展示)矩形的四个角都是直角．已知：如图1－2－12，四边形ABCD是矩形，∠C＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.图1－2－12　　证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝90°，∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝180－∠C＝90°.从变化的图形中让学生归纳出矩形的定义．问题的提出没有任何的约束与限制，给每一个学生都留下了一个广阔的探究空间，学生在体会与回味中进行独立思考．通过证明验证猜想的结论，让学生更深刻的理解并掌握相关的性质，同时感受数学的严谨性与规范性，培养学生良好的数学思考能力，学生感受矩形与平行四边形的关系，最后归纳验证矩形的性质，培养了学生观察、猜想、归纳、验证的数学思维．-6- ∴∠D＝∠B＝90°，即∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.注意：证明的过程由学生口答后教师课件展示．教师：我们通过证明发现矩形的角都很特殊，都是直角，那么它的对角线也像大家猜想的那样——相等吗？学生：是，可以通过全等证明．教师：看来有的同学探究得比较深入，下面我们来看一看结果到底对不对．(课件展示)矩形的对角线相等．已知：如图1－2－13，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD.图1－2－13证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴AC＝BD.师生共同分析并由课件展示证明过程．教师：我们证明了这两个性质，那么我们就可以在解决问题的过程中使用了，如果使用这两个定理的话，同学们会用数学符号表示吗？学生口答，同时教师板书．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD.【探究3】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教师：下面请同学们结合矩形的性质来填空．(课件展示)图1－2－14　　练一练：如图1－2－14，在矩形ABCD中：①AB∥__CD__，AB＝__CD__，AD∥__BC__，AD＝__BC__；②∠BAD＝∠__ADC__＝∠__BCD__＝∠__ABC__＝90°；③AC＝__BD__＝2__OA__＝2__OB__＝2__OC__＝2__OD__.学生口答填空.教师：请同学们看图1－2－15并思考：在Rt△ABC中，斜边AC上的中线是__________，它与斜边的关系是OB＝__________AC.通过对矩形对角线的探索，引导学生发现直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的结论．让学生感受学习数学不仅仅是简单做题，而应该是不断地优化知识结构，完善知识体系.-6- 图1－2－15学生：斜边AC上的中线是OB，它与斜边的关系是OB＝AC.教师：我们用语言文字叙述一下就是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教师：这个结论是不是对于任意直角三角形都正确呢？学生：是，因为任意一个直角三角形都可以看作是矩形的一半.教师：同学们说得非常好，这就是我们解决问题的思路，将直角三角形转化到矩形中进行证明.教师：通过上面的练习大家想一下：OA，OB，OC，OD之间有什么关系？学生：它们都相等.教师：那么图中有没有特殊的三角形呢？学生：有等腰三角形，它们分别为△OAB，△OBC，△OCD，△OAD.教师：通过探究我们发现，矩形中的一些特殊的结论是比较多的，不知道同学们能不能记住并理解.学生：能.教师：只有真正地理解并掌握了，我们才能在具体问题中灵活运用，下面我们来试一下.　　如图1－2－16，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中相等的线段有哪些？若∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形对角线的长.图1－2－16学生自主解答并书写解答过程.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，(矩形的对角线相等且互相平分)∴OA＝OD.故相等的线段有OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，AD＝BC，AB＝CD.∵∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝＝30°.又∵∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD＝2AB＝2×4＝8(cm).通过对例题的分析，使学生进一步熟悉矩形的性质，并能熟练地应用．此题并不是太难，学生也容易解决，教学中要大胆让学生自己探索，尽量让学生独立完成．另外，要注意引导学生解题的多样化，不能局限于课本上的解法，只要学生的解答合理就应给予肯定．这里一共给出了两种解法，对于第二种解法，可以-6- 故这个矩形的对角线的长为8cm.学生理解并记忆这个题目的解答过程.教师：同学们来想一想，还有没有其他的方法来求矩形对角线的长呢？教师：这道题还可以这样想：(展示多媒体)∠AOD＝120°→∠AOB＝60°→OA＝OB＝AB→AC＝2OA＝2×4＝8(cm).请同学们自己完成这个题目的解答过程.想一想：教师：大家根据矩形的性质思考一下：矩形是中心对称图形吗？矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？试一试.学生：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形．矩形的对称轴有两条，分别是过对边中点的直线.注意：学生回答的同时要求学生动手画出相应的对称轴.留给学生，让学生在课下完成，以便节约课堂教学时间，提高教学效果.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1　[桂林中考]如图1－2－17，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是________.图1－2－17图1－2－18例2　如图1－2－18，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，BO是斜边AC上的中线.(1)若BO＝3cm，则AC＝______cm；(2)若BO＝6.5cm，AB＝5cm，则BC＝______cm.对问题的思考让学生对矩形有更深刻的认识，在思考的同时可以引导学生进一步加深对矩形性质的理解.【拓展提升】例1　[鄂州中考]如图1－2－19，在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连接BG，DH，且BG∥DH，当等于多少时，四边形BHDG为菱形(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.图1－2－19图1－2－20例2　[安顺中考]如图1－2－20，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为__________.练习题的设置一方面可以加强学生对知识的掌握，从而提高对知识的运用能力，另一方面可以查漏补缺，为以后教师的教学和学生的学习指明方向.活动四：课堂教师：这节课你学到了什么？还有什么困惑吗？学生：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.让学生自己回顾反思课堂知识，养成良好的学习习惯.-6- 总结反思矩形的性质：平行四边形的一切性质，四个角都是直角，对角线相等.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形既是轴对称图形又是中心对称图形.教师：同学们说得非常好，下面我们再来回顾一下本节课的主要内容：(课件展示【当堂训练】1.课本P13中的随堂练习2.课本P13习题1.4中的T1、T2、T3.当堂检测，及时反馈学习效果.【板书设计】　　　　第1课时　矩形的性质1.投影展示引入　　　例1(多媒体展示)矩形的定义：2.矩形的性质：角：　　　　　练习边：对角线：提纲挈领，重点突出.活动四：课堂总结反思【教学反思】①[授课流程反思]______________________________________________________________________________________________②[讲授效果反思]在平行四边形及菱形的教学后，学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证矩形的一些特殊性质，对于一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决．总的看来这节课学生掌握得还不错，当然合情推理要慢慢地熟练，不可能一下就掌握熟练．这需要我们不断加强学生的课后辅导，以巩固新知，提升学生能力.通过本节课的学习，学生能够接受有关矩形的知识．但是学生的动手操作能力还有待提高.③[师生互动反思]______________________________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号_______________________________________错题题号_______________________________________反思，更进一步提升.-6-