辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2024届高三数学上学期高考适应性测试（一）（Word版附解析）

绝密★使用前东北育才学校科学高中部2023-2024学年度高考适应性测试（一）高三数学考生注意：1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共6页2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）1．欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ）A．的实部为B．在复平面内对应的点在第一象限C．D．的共轭复数为2．在中，角A，B，C对边分别为a，b，c．命题，命题为等腰三角形．则p是q的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，半正多面体是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体．如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若被截正方体的棱长为，则该阿基米德多面体的表面积为（    ）A．B．C．D．4．公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（    ） A．图①，长为､宽为的矩形的两端去掉两个弦长为､半径为的弓形B．图②，长为､宽为的矩形的两端补上两个弦长为､半径为的弓形C．图③，长为､宽为的矩形的两端去掉两个底边长为､腰长为的等腰三角形D．图④，长为､宽为的矩形的两端补上两个底边长为､腰长为的等腰三角形5．已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）A．B．3C．D．6．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列，如果，数列为牛顿数列，设且，，数列的前项和为，则（    ）A．B．C．D．7．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为（    ）A．B．C．D．8．设正实数，，分别满足，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数 ，，则（    ）A．该地杂交水稻的平均株高为100cmB．该地杂交水稻株高的方差为10C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大10．对于正弦函数，当时，关于的函数称为“反正弦函数”，记作，如：；同样的，对于余弦函数，当时，关于的函数称为“反余弦函数”，记作，如，则下列说法正确的是（    ）A．“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为B．“反正弦函数”与“反余弦函数”的单调性相同C．“反正弦函数”是奇函数，“反余弦函数”是偶函数D．若，，且，则11．在中，P，Q分别为边AC，BC上一点，BP，AQ交于点D，且满足，，，，则下列结论正确的为（    ）A．若且时，则，B．若且时，则，C．若时，则D．12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ）A．若为的跟随区间，则B．函数不存在跟随区间C．若函数存在跟随区间，则 D．二次函数存在“3倍跟随区间”三、填空题（每题5分，共20分）13．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.这是一个很有趣的猜想，但目前还没有证明或否定.如果对正整数（首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则满足条件的的所有不同值的和为___________.14．已知，则_____________.15．已知，过点倾斜角为的直线交于、两点（在第一象限内），过点作轴，垂足为，现将所在平面以轴为翻折轴向纸面外翻折，使得，则几何体外接球的表面积为______．16．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段，取的中点，以为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为，在图①中取的中点，以为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为，以此类推，则___________；___________.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．如图，已知曲线及曲线.从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列.(1)试求与之间的关系，并证明：； (2)若，求的通项公式.18．已知的内角所对的边分别为.(1)求；(2)为内一点，的延长线交于点，___________，求的面积.请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.①的三个顶点都在以为圆心的圆上，且；②的三条边都与以为圆心的圆相切，且.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.19．中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下：年份20122013201420152016年份编号12345地区生产总值（亿元）2.83.13.94.65.6(1)求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差；(2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型、、，它们的分别为0.976、0.880和0.985，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值；(3)若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势．参考公式：，； 20．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.21．已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.(1)求的方程；(2)若直线的斜率为1，求线段的中点坐标；(3)点、在上，且，.过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①在上；②；③.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22．已知函数．(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围； 东北育才学校科学高中部2023-2024学年度高考适应性测试（一）数学参考答案1．C【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，则实部为，A错误；对于B，对应的点为，，，对应的点位于第二象限，B错误；对于C，，C正确；对于D，，则其共轭复数为，D错误.故选：C.2．D【分析】利用三角恒等变换公式和正弦定理，把中等式化为，从而，得或，然后结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】根据正弦定理可得，所以所以，即，整理得，则或，因为，，，，则或，即或，所以由不能推出；当为等腰三角形时，不一定为，也不一定相等，所以由不能推出，故p是q的既不充分也不必要条件． 故选：D3．A【分析】通过图形可知阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，分别求解正方形和等边三角形面积，加和即可.【详解】由题意知：阿基米德多面体是由六个全等的正方形和八个全等的等边三角形构成，其中正方形边长和等边三角形的边长均为；阿基米德多面体的表面积.故选：A.4．B【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据在轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设，与双曲线相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.【详解】由得：，则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，对于③，双曲线实轴长为，③中轴的最短距离为，不合题意，③错误；对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误；对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合；当与①中图形相交时，两交点之间距离为，此时圆环面积为，不合题意，①错误对于②，在轴的最长距离为，矩形高为，与几何体吻合；当与②中图形相交时，两交点之间距离为，此时圆面积为，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论.5．C【分析】由题设条件有，令则有、，应用基本不等式求范围且恒成立，进而求的范围，即可得结果.【详解】由，则，且，所以，令，则，且，所以，即，仅当时等号成立，对于恒成立，仅当，即时等号成立，综上，若，则，而，则，只需，所以，仅当，即时等号成立，综上，，仅当，即时等号成立.所以目标式最小值为.故选：C6．A【分析】先求得，然后等比数列的前项和公式求得，进而求得正确答案.【详解】依题意，，，，依题意，即，则，（由于，所以）， 则，两边取对数得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以，所以.故选：A7．C【分析】由已知条件求得解得，，，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.【详解】设，，根据题意得，解得，，，，，又、、三点共线，，，当且仅当，即时，等号成立．故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键是由已知条件求出后，再由三点共线，得，所以化简后结合基本不等式可求出其最小值，8．C【分析】分别作出函数，，图像，根据三个图像分别与函数图像交点情况比较大小.【详解】由，得，，， 分别作函数，，图像，如图所示，它们与函数图像交点的横坐标分别为，，，有图像可得，故选：C.9．AC【分析】由正态分布密度函数可知，，则可判断出AB选项，再由正态曲线的特征即可判断出CD选项.【详解】因为正态分布密度函数为，所以，，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；根据正态曲线的特征可知函数关于轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大.故D错误．故选：AC.10．AD【分析】根据反正弦函数和反余弦函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，因为正、余弦函数的值域均为，所以“反正弦函数”与“反余弦函数”的定义域均为，即A正确；对于B中，因为正弦函数单调递增，所以增大时，也增大，即“反正弦函数”单调递增，同理可知，“反余弦函数”单调递减，即B错误；对于C中，由B可知，“反余弦函数”单调递减，不可能是偶函数，即C错误；对于D中，设，，则，，因为，，所以，，又由，则，即，所以，则，即，即D正确．故选：AD11．AD【分析】根据向量共线定理的推论，得到，，代入 相应的变量的值，求出其他变量，从而判断AB选项，对上式变形得到，假设成立，推导出，得到矛盾，故C错误，根据向量共线定理的推论得到，，变形得到.【详解】由题意得：，，，，即即，所以，因为三点共线，所以，当且时，，解得：，，，，所以，即，即，所以，因为三点共线，所以，当且时，，解得：，故A正确；若且时，，， 解得：，B错误；，变形为：，①若时，则，代入①式得：假设成立，则，解得：，此时，显然无解，故假设不成立，故C错误；同理可得：，，所以，，所以D正确.故选：AD【点睛】利用向量共线定理的推论得到关系式，然后解决向量的倍数关系，本题中要能在多个等式中进行适当变形，然后找到等量关系12．CD【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，若为的跟随区间，因为在区间为增函数，故其值域为，根据题意有，解得或，因为故.故A错误．对于B选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数，若存在跟随区间则有，即为的两根．即的根.故.故B错误．对于C选项，若函数存在跟随区间，因为为减函数，故由跟随区间的定义可知，即，因为，所以． 易得．所以，令代入化简可得，同理也满足，即在区间上有两不相等的实数根．故，解得，故C正确．对于D选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为.当时，易得在区间上单调递增，此时易得为方程的两根，求解得或.故定义域，则值域为．D正确．故选：CD【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解.13．190【分析】利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n的所有可能的取值.【详解】设对正整数按照上述变换，得到数列：，则：则的所有可能取值为，共6个.其和为，故答案为：190.14．30【分析】利用二项式定理的原理与组合的意义求解即可.【详解】因为，所以是含项的系数，若从10个式子中取出0个，则需要从中取出3个，7个1，则得到的项为；若从10个式子中取出1个，则需要从中取出1个，8个1，则得到的项为；若从10个式子中取出大于或等于2个，则无法得到含的项；综上：含的项为，则含项的系数为，即. 故答案为：.15．【分析】翻折前，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点、的坐标，然后以以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设球心为，根据球心的性质可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，可求得球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】翻折前，设点、，则，直线的方程为，联立可得或，即点、，易知点，翻折后，以原坐标原点为原点，原纵轴的负半轴所在直线为轴，直线所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设四棱锥的外接球球心为，由题意可得，解得，所以，球心为，所以，球的半径为，因此，球的表面积为.故答案为：.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：① 补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.16．；．【分析】依题可知，各等边三角形的面积成等比数列，公比为，首项为，即可求出以及，再根据分组求和法以及错位相减法求出．【详解】依题可知，各等边三角形的面积形成等比数列，公比为，首项为，所以，即；，而，设，，作差得：，所以，所以．故答案为：；．17．(1)，证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得，从而有，再根据在上，即可得与之间的关 系，根据，可得与异号，再结合，即可得证；（2）根据，可得，两式相除，利用构造法结合等比数列的通项即可得解.【详解】（1）由已知，，从而有，因为在上，所以有，所以，由及，知，下证：，因为，所以与异号，因为，所以，所以，即；（2）由可得，两式相除得，又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，则，解得.18．(1) (2)【分析】（1）根据已知等式结合正弦定理、诱导公式、三角恒等变换，即可得角的大小；（2）选择条件①，利用三角形的外心为，根据正弦定理、余弦定理可得为等边三角形，再利用面积公式可得的面积；选择条件②，利用三角形的内心为，利用等面积法求得，再根据余弦定理得，即可求得的面积.【详解】（1）在中，因为，所以，由正弦定理，得，因为，所以，化简，得，因为，所以.（2）选条件①：设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，由题意知：，由余弦定理知：，所以.在中，由正弦定理知：，所以，从而，所以为等边三角形，的面积.选条件②：由条件知：，由，得，因为，所以，即，由（1）可得，即，所以，即，又因为，所以， 所以的面积.19．(1)，残差为(2)选用更好，17.773亿元(3)逐年递增【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）由相关指数的大小，结合其的实际意义确定较好模型，进而估计2023年该市的地区生产总值；（3）由题设可得该市人均地区生产总值，利用单调性定义判断其在上的单调性即可.【详解】（1）由数据，，，而，，所以，则，综上，回归方程为，当时，，故2016年地区生产总值残差为.（2）根据相关指数越大拟合越好，由于，故模型较好，因2023年对应，则亿元.（3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值，令，且，若，所以，而且，则，故，所以在上递增，则在上递增，所以该市人均地区生产总值逐年递增.20．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）根据弯曲度、曲率的定义求得正确答案.（2）（i）结合多面体的表面积的求法求得；（ii）利用导数求得蜂房表面积最小时的值.令，利 用余弦定理求得，结合三角恒等变换的知识求得顶点的曲率的余弦值.【详解】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，即蜂房曲顶空间的弯曲度为.（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O，则，则，菱形SAHC的面积为，侧面积，所以蜂房的表面积为.（ii），令得到，所以在递增；在递增.所以在处取得极小值，也即是最小值.此时，在中，令，由余弦定理得，又顶点的曲率为，. 21．(1)(2)(3)答案见解析.【分析】（1）根据双曲线渐近线方程和右焦点列出方程，即可求出答案；（2）首先求出点M的轨迹方程即为其中k为直线的斜率；若选择①②∶设直线的方程为，求出点M的坐标，可得M为的中点，即可推出；若选择①③︰当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点M的坐标，即可；若选择②③∶设直线的方程为，设的中点C，求出点C的坐标，可得点M恰为中点，故点M在直线上．【详解】（1）由题意可得，即，解得，因此C的方程为；（2）由直线的斜率为1，得直线的方程为，联立，得：，不妨设,联立，得：，不妨设,故线段的中点的横坐标为，纵坐标为，故线段的中点的坐标为；（3）由题意设直线的方程为，将直线的方程代入得, ,因为，，，，设点M的坐标为,则，整理得，，，解得，又因为，，，；若选择①②作条件：设直线的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为，则，解得同理求得，，此时点M的坐标满足，解得，故M为的中点，即，即③成立；若选择①③作条件：当直线的斜率不存在时，点M即为点，此时不在直线矛盾，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为，则，解得，同理解得，此时，， 由于点M同时在直线上，故解得，因此，即②成立．若选择②③作条件：设直线的方程为，并设A的坐标为，B的坐标为，则，解得，同理可得，设的中点为,则，由于，故M在的垂直平分线上，即点M在直线上，将该直线与联立，解得，即点M恰为中点，即点M在直线上,①成立；【点睛】本题考查了双曲线方程的求法以及双曲线几何性质的应用，以及直线和双曲线的位置关系，综合性强，计算量大，解答时要明确解题思路，关键是联立方程进行计算十分繁杂，要特别注意准确性.22．(1)(2)证明见解析【分析】（1）化简，令，得到且，根据题意转化为在上恒成立，设，求得，设，利用导数求得的单调性，结合且，得到在上存在一个零点，设为，进而得到的单调性，求得的最小值，即可求解；（2）由（1）得到不等式恒成立，即恒成立，从而证得，进而证得，得到，进而证得结论.【详解】（1）解：由题意，函数，令，因为，可得，且，因为在上恒成立，即在上恒成立， 当时，不等式，显然成立，所以等价于在上恒成立，设，则，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，又因为，所以在上存在一个零点，设为，所以当时，，可得，单调递增；当时，，可得，单调递减，所以在处取得极大值，且为最大值，由，所以，即实数的取值范围为.（2）解：由（1）知，当时，不等式恒成立，即，即恒成立，当，且时，可得，所以，所以，所以，又因为，所以.【点睛】思路点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．