浙江省杭州学军中学紫金港校区2022-2023学年高二数学下学期5月检测试题（Word版附解析）

2023年5月高中数学一、单选题1.抛物线的准线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据抛物线的方程求出准线方程；【详解】因为抛物线，所以其准线方程为.故选：C.2.设、，向量，，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.3.现有语文､数学､英语､物理各1本书，把这4本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里，则放法数为（）A.18B.24C.30D.36【答案】C【解析】【分析】 根据题意，用间接法求解，先由分步计数原理计算4本书放入三个不同抽屉的放法数目，再计算语文与数学在同一抽屉的放法数目，相减即可得到结果.【详解】4本书放入三个不同的抽屉，先在4本书中任取2本作为一组，再将其与其他2本书对应三个抽屉，共有种情况，若语文与数学放入同一个抽屉，则其他两本放入其余抽屉，有种情况，则语文与数学不在同一个抽屉的放法种数为：种；故选：C.【点睛】解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．4.已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设点由直线，的斜率乘积为得到，则渐近线可求.【详解】设点，又，，则，所以，又因为点在双曲线上得，所以，故，所以则双曲线的渐近线方程为.故选：B 5.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将不等式转化为，构建，利用导数判断其单调性和最值，根据题意利用数形结合，列式求解即可.【详解】因为，且，可得，构建，则，令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，可得，且，由题意可得，解得，所以的取值范围是.故选：C.6.已知函数的定义域为，其导函数为，，，则 （）A.无极值B.有极大值，也有极小值C.有极大值，无极小值D.有极小值，无极大值【答案】D【解析】【分析】根据题意赋值可求得，根据结构特征，构造函数，从而判断的函数值情况，即可判断的单调性，确定极值，即可得答案.【详解】由已知知，又，所以，令，则，又，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以的极小值为，无极大值，故选：D.7.在平面直角坐标系中，若满足的点都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，由可得点在圆心，的内部，结合条件列出不等式，即可得到结果.【详解】，则，，圆心，，都在，则两圆内切或内含．∴，∴，故选:B．8.，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系.【详解】令则，显然即单调递减，所以，即，.令则，即在上单调递增所以，即，所以 令则当时，，即在上单调递增又，所以当时，所以，即即，又，所以，即.综上：.故选：C.二、多选题9.等差数列前项和为，若，公差，则（）A.若，则B.若，则是中最大的项C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列二次函数的性质可判断A和B选项，然后根据题意判断出，得，判断的正负，即可可判断C和D选项.【详解】等差数列的前项和，又，，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.故选：BC.【点睛】关于等差数列前项和的最值问题，一般有两种求解方法： （1）利用的公式判断得是关于的二次函数，计算对称轴，即可求出最值；（2）利用的正负判断，当时，则在处取最大值，当时，则在处取最小值.10.如图所示，是一个3×3九宫格，现从这9个数字中随机挑出3个不同的数字，记事件A1：恰好挑出的是1、2、3；记事件A2：恰好挑出的是1、4、7；记事件A3：挑出的数字里含有数字1.下列说法正确的是（）123456789A.事件A1，A2是互斥事件B.事件A1，A2是独立事件C.P(A1|A3)＝P(A2|A3)D.P(A3)＝P(A1)＋P(A2)【答案】AC【解析】【分析】根据互斥事件和相互独立事件的概念判断AB；利用条件概率公式计算概率判断C；计算判断D.【详解】A.挑出的是1、2、3和挑出的是1、4、7不可能同时发生，正确；B.事件A1，A2不是独立事件，错误；C，正确；D.，，错误.故选：AC.11.已知函数，则（）A.是偶函数 B.在区间上单调递增C.在上有4个零点D.的值域是【答案】AB【解析】【分析】根据偶函数的定义、复合函数的单调性、零点的定义以及复合函数的值域，可得答案.【详解】对于A，函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，A正确；对于B，当时，.令，由于函数在时单调递减，函数在时单调递增，所以函数在区间上单调递减，故函数在区间上单调递增，B正确；对于C，当时，由，得或，所以或或，所以偶函数在上有6个零点，C不正确；对于D，当时，.因为，所以当时，，当时，.由于函数是偶函数，因此，函数的值域为，D不正确.故选：AB.12.已知抛物线，其焦点为，点是抛物线上的动点，过点作直线 的垂线，垂足为，则（）A.直线过定点B.当点到直线的距离最大时，C.动点的轨迹为椭圆D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意求出直线的定点即可判断选项A；利用点到直线的距离公式，将式子整理化简即可判断选项B；根据垂直即可判断选项C；作出图象，借助抛物线的定义即可判断选项D.【详解】直线可化为，令，解得：，所以直线过定点，故选项正确；由题意可知：，则点到直线的距离，当时，；当时，，因为，所以当时，取最大值，也即点到直线的距离最大时，，故选项正确；因为过点作直线的垂线，垂足为，直线过定点，则，所以点在以（的长度为定值）为直径的圆上，也即动点的轨迹为圆，故选项错误；过点作与准线垂直并交准线于点，连接，取的中点，则的坐标为，，因为，则点在以为直径的圆上，其方程为，又由，得，如图所示： 的最小值为圆上的点到准线的距离的最小值，过点作与准线垂直并交于点，与圆交于点，与抛物线交于点，则即为的最小值，即,故选项正确，故选：.三、填空题13.的展开式中的系数为，则________．【答案】【解析】【分析】先根据展开式的通项公式得，进而得展开式中项为，故，解得.【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得，令，解得，所以展开式中项为，其系数为，解得.故答案为：【点睛】本题解题的关键在于根据题意求得展开式的通项公式为，进而列式求解即可.考查运算求解能力，是基础题. 14.已知实数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围.【详解】根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：，因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以，当时，，所以，即，因为，所以，故答案为：.15.已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________. 【答案】【解析】【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.【详解】因为是偶函数，所以，由，可得关于对称，因为，所以，则，因为是偶函数，所以，因为，所以，则，所以函数是周期为的周期函数.因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，令中，则，则，又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，结合函数是周期为的周期函数，综上可得，上单调递增，，上单调递减.因为的最小正周期为，结合图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 令中，则，则，当，又，所以，当，又，所以，所以当时，，解得.又因为与均为周期函数，且8均为其周期，所以的x的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可.16.已知椭圆右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为______.【答案】.【解析】【分析】引入椭圆的另一个焦点，根据椭圆的对称性，将转化为焦点三角形的面积问题进行处理即可.【详解】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性：，于是四边形为平行四边形，由，故，记，根据椭圆定义，，在中，根据余弦定理：，即，对两边平方，，故，显然，根据三角形的面积公式：，由 ，即，不等式两边同时除以，整理得到，结合椭圆离心率范围解得；另一方面，由余弦定理结合基本不等式：，解得.于是，.故答案为：四、解答题17.已知圆.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；（2）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，满足，求点的轨迹方程.【答案】（1）或（2） 【解析】【分析】（1）讨论直线是否存在斜率，当斜率存在时，设出直线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则直线方程得解；（2）根据题意以及几何关系，求得点的轨迹方程，【小问1详解】根据题意，圆的方程为：，其圆心为，半径为，当直线的斜率不存在时，其方程为，此时直线与圆的交点为，，，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，即，则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或；【小问2详解】如图，为圆的切线，连接，，则，所以为直角三角形，即.设，由（1）知，，因为，所以，化简得点的轨迹方程为.18.在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答．已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，， 成等比数列．（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】条件性选择见解析，（1），；（2）【解析】【分析】（1）选择①②，可以判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择②③，由可判断为，公比为的等比数列，即可求出通项公式；选择①③根据条件可得，根据条件不能求出的值，故不能选①③；根据的条件建立关系即可求出公差，得出通项公式；（2）利用错位相减法可求解.【详解】（1）选择①②：由当时，有，两式相减得：，即，．又当时，有，又∵，∴，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；选择：②③：由当时，，两式相减得：，即，． 又当时，有，又∵，∴，也适合，所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；选择①③：由，，则即，所以，两式相减可得：，当时，由，得，即，即由，得，即，与上式相同，不能求出的值.故不能选择①③所以数列是首项、公比均为的等比数列，所以；设正项等差数列的公差为，∵，且，，成等比数列，∴，即，解得：或（舍），∴，故，．（2）所以，则，两式相减得．∴【点睛】关键点睛：本题考查利用与的关系证明等比数列，等差数列基本量的计算，等比数列前项和问题，解答本题的关键是错位相减法求和中的计算，即由 ，和相减得到，属于中档题.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，底面ABC是等腰直角三角形，AA1＝AB＝BC＝4，∠A1AB＝60°，cos∠BCC1＝，M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点.19.（1）证明：NB⊥平面A1B1C1；20.（2）求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】19.证明见解析.20.【解析】【分析】(1)先证明，，根据线面垂直判定定理证明NB⊥平面A1B1C1；(2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值.【19题详解】连接，由已知四边形为平行四边形，又∠A1AB＝60°，AA1＝AB＝4，∴为等边三角形，∵为A1B1的中点，∴，，∵底面ABC是等腰直角三角形，AB＝BC＝4，∴，，∵M，N分别是棱B1C1，A1B1的中点， ∴，∵，，cos∠BCC1＝，∴，∴为等腰三角形，M是棱B1C1的中点，∴，∴，∴，又平面，，∴NB⊥平面A1B1C1；【20题详解】取AB的中点O连结AO，则AO//BN，由(1)知平面ABC，AB，如图，以点为原点，直线OC，OB，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系则，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，∴，取，则，故可取，设直线AM与平面BB1C1C所成角为，则， ∴直线AM与平面BB1C1C所成角的正弦值为.21.某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：过期天数（单位：天）12345菌落数目（单位：千个）（1）请用线性回归模型拟合与的关系；（2）实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目（单位：千个）与过期天数（单位：天）应满足关系：.（i）判断该样本是否添加防腐剂；（ii）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果.附：.【答案】（1）（2）（i）该样本添加了防腐剂；（ii）抑制食品产生菌落，且效果越来越好.【解析】【分析】（1）根据线性回归方程的求法根据已知即可得出答案； （2）（i）根据回归方程过样本中心列式即可判断；（ii）根据所给关系得出未添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目，与已知添加防腐剂的条件下的各天的菌落数目对比，即可总结得出答案.【小问1详解】由题意可得：，，且，，所以，则，所以回归直线方程为【小问2详解】（i），则样本不满足未添加防腐剂的条件，即该样本添加了防腐剂；（ii）根据该种食品在未添加防腐剂的条件下应满足关系：，可得，，，，，即过期天数（单位：天）12345添加防腐剂菌落数目（单位：千个）未添加防腐剂 菌落数目（单位：千个）则过期7天内防腐剂让其菌落数目小于未添加防腐剂，且差距越来越大，即过期7天内防腐剂发挥的效果为抑制食品产生菌落，且效果越来越好.22.在平面直角坐标系中，设曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线上的点到原点O的最短距离为．以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为．（1）求椭圆的标准方程：（2）设AB是过椭圆中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点（与O不重合），若M是l与椭圆的交点，求的面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由封闭图形面积为可得，再由点到直线的距离公式列出方程求得即可得到椭圆的标准方程；（2）根据题意，分AB斜率为0，AB斜率不存在，AB斜率存在且不为0，三种情况讨论，当AB斜率存在且不为0时，结合弦长公式以及面积公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】曲线围成的图形如图 ∴，即且，解得，∴椭圆的标准方程为．【小问2详解】①若AB斜率为0，则；②若AB斜率不存在，则；③若AB斜率存在且不为0，设AB方程为；，，消去得，则∴∵，∴令，，∴一方面，另一方面综上：面积的取值范围为．23.已知函数，（为常数）（1）求函数在处的切线方程; （2）设．（ⅰ）若为偶数，当时，函数在区间上有极值点，求实数的取值范围;（ⅱ）若为奇数，不等式在上恒成立，求实数的最小值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）根据导数几何意义求得切线斜率，再用点斜式求得切线方程.（2）（ⅰ）函数在区间上有极值点，则研究其导数在有零点，且零点左右两边导数符号不同即可；（ⅱ）将恒成立问题转化为最值问题，通过求导讨论参数范围，判断单调性来确定最值，从而求最小值.【详解】解：（1），，当时，．∴在处的切线方程为，即．（2）（ⅰ）为偶数时，，，令，则．∵且，∴在恒成立．∴在单调递减，其中，． ∵在有极值点，∴且，即．当时，，使．令，即，在单调递增；令，即，在单调递减．∴在有极值点．因此实数的取值范围．（ⅱ）为奇数时，在恒成立．当时，．当时，因为恒成立，而，令，∴．．∵，①当时，，∴恒成立．∴在单调递减，∴．∴符合题意．②当时，则在恒成立．∴时，单调递增，，与题意不符，舍去． ③当时，，，，在上存在零点．设为在上最小零点，则时，因此在单调递增，∴，不合题意舍去．综上，的最小值为．【点晴】利用导数研究不等式恒成立问题的策略：