重庆市长寿中学2022-2023学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

重庆市长寿中学校2022-2023学年高一上·期末考试数学试题一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，合计40分）1.已知全集，集合，，则（）A.PB.MC.D.【答案】A【解析】【分析】求出，从而得到.【详解】，.故选：A2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”的否定是：.故选：C3.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件必要条件的定义即得.【详解】由名言可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步， 所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.故选：B.4.函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A.16B.8C.4D.2【答案】A【解析】【分析】利用恒等式可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.详解】当时，，所以函数的图像恒过定点记，则有，解得所以.故选：A5.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性确定的范围，进而比较大小可得答案.【详解】因为在上单调递增，所以，即；因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，所以.故选：D． 6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：，，则，故选：D7.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ）A.B.图象的一条对称轴的方程为C.在区间上单调递增D.的解集为【答案】C【解析】 【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项．【详解】由题意，最小正周期为，∴，又，，且，∴，∴，故A正确；，∴直线是图象的一条对称轴，故B正确；时，，即时，取得最大值.因此在区间上不单调，故C错；由得，，，故D正确．故选：C．8.设函数，，若函数（）恰有三个零点､､（），则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与有三个交点，令，则，与有3个交点，，，画出的函数图象，结合函数图象及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：由，所以，因为函数（）恰有三个零点，即有三个解，即与有三个交点， 令，则，与有3个交点，，，不妨令，则，，，由图可知、关于对称，所以，即，，即，可得的取值范围是，故选：B二．多选题（本大题共4小题，若全选对得5分，未选全得2分，选错得0分，本大题共20分）9.已知，现有下面四个命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AB【解析】【分析】当时，由可得，进而得，当时，利用指对互化及换底公式可得. 【详解】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质，属于基础题.10.若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.的最小值是10D.【答案】AD【解析】【分析】利用可判断A；利用可判断B；展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D．【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；对于B，，∴，当且仅当时取到等号，∴B错误；对于C，，当且仅当即时取到等号，所以C不正确；对于D，∵，∴，∴D正确．故选：AD. 11.已知，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】考虑角所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.【详解】由…①，以及，对等式①两边取平方得，…②，，，由②，，由①②，可以看作是一元二次方程的两个根，解得，，故A正确，B正确，C错误，D正确；故选：ABD.12.给出下列命题，其中正确的命题有（）A.若为第二象限的角，则为第三、四象限的角B.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则的解析式为C.若，则的取值范围是D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】选项A，求出的取值范围，即可得到的取值范围，即可判断；选项B，令，则，可得，即可得出的解析式，即可判断出正误；选项C，分或两种情况讨论，结合对数函数的单调性，解出即可得出； 选项D，令，则函数在单调递减即可判断出.【详解】对于A：因为为第二象限的角，所以，，所以，，则为第三、四象限的角或轴负半轴上，故A错误；对于B：若，则，则，是偶函数，，即，所以，即的解析式为，故B正确；对于C：若，则，若，则，此时不成立，若，则，此时，即的取值范围是，故C正确；对于D：若，则，令，则函数在单调递减，则不等式等价为，则，即，故D正确．故选：BCD三．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数的定义域为，则的定义域为_________.【答案】【解析】 【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.【详解】因为函数的定义域为，所以；即函数的定义域为；由解得，因此的定义域为.故答案为：14.某城市数，理，化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有__名．【答案】3【解析】【分析】根据题意画出图形，根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门，3门竞赛的人数加在一起，即可得到竞赛的总人数，然后即可求出没有参加任何一科竞赛的学生人数.【详解】画三个圆分别代表参加数学，物理，化学的人．因为参加数，理，化三科竞赛的有7名，只参加数，物两科的有5名，只参加物，化两科的有3名，只参加数，化两科的有4名．分别填入图形中，又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，故单独参加数学的有8人，单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，故是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为人．故答案为：3． 15.已知，则___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因，所以.故答案为：16.已知，则的最小值是______．【答案】【解析】分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.四．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题各12分，合计70分）17.已知集合，．（1）若，求；（2）在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．若______，求实数a的取值范围．【答案】（1） （2）条件选择见解析，【解析】【分析】（1）当时，集合，则可求出；（2）任选一个条件都可得，讨论集合是否为空集，即可求出实数a的取值范围.【小问1详解】当时，集合，又，所以；【小问2详解】方案一选择条件①．由，得．当时，，得，此时，符合题意；当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．方案二选择条件②．由，得．当时，，得，此时，符合题意．当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．18.（1）计算：；（2）若，求的值； 【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算性质进行计算求解.（2）利用把原式转化为齐次式，再对分子分母同时除以弦化切进行求解.【详解】（1）；（2）.19.已知函数（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；（3）求不等式解集．【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）函数的定义域满足真数部分大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.【小问1详解】 由函数的定义域满足真数部分大于零，即解不等式，解得,函数的定义域为.【小问2详解】由第一问函数的定义域为，，所以函数为奇函数.【小问3详解】解不等式，即,即，从而有，所以.不等式的解集为20.已知函数（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）求在上的最值以及取得最值时对应x的值.【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，（2）时，时【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简 ，再求最小正周期，结合正弦函数单调性可求单调递增区间；（2）根据题意求得的范围，可求得值域.【小问1详解】∵，∴的最小正周期，由,，解得,，的单调递增区间为,；【小问2详解】，,，则，，当时可得，此时，当时可得，此时.21.某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.【答案】（1）4米；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得出甲工程队报价元关于左右两侧墙的长度的函数，利用均值不等式求最小值即可；（2）由题意得不等式恒成立，分离参数后，利用均值不等式求最小值即可得解.【小问1详解】因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，所以屋子的前面墙的长度均为米（），设甲工程队报价为元，所以（元），因为，当且仅当，即时等号成立，所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.【小问2详解】根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时等号成立，所以，故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功. 22.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）若，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）若，在上的最小值为，求实数的值；【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用奇函数定义得等式，对比系数可得解；（2）由（1）得的范围，进一步判定为减函数，进而原不等式得以转化，不难求得的范围；（3）由（1）求得，从而确定了，进而通过令换元把转化为二次函数，再分析其在，上的单调性即可得解．【详解】（1）因为为奇函数，所以，解得：（2）解得，又，所以；任取，则，，所以为减函数.恒成立等价于恒成立令，则，因为，那么所以，解得或（3）因为，所以，令，因，所以 （i）当时，在上单调递增，，解得，不合题意，舍去；（ii）当时，，解得(负舍)综上所述，.【点睛】方法点睛：二次函数在区间上的最小值的讨论方法：(1)当时，(2)当时，(3)时，.