四川省射洪中学2022-2023学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

射洪中学高2022级高一（上）半期考试数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义求解即可【详解】由题，故选：C2.已知函数，则（）A.2B.0C.1D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式先求出，再求出即可. 【详解】，，.故选：A.3.下列函数中，既是奇函数又是定义域内减函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的定义与单调性定义判断即可得答案【详解】解:对于A选项，函数的定义域为，，故函数是奇函数，且函数均为定义域内的减函数，故函数在定义域内是减函数，故A正确；对于B选项，函数定义域为，，故函数不是奇函数，故B选项错误；对于C选项，函数定义域为，，故函数奇函数，但函数在和上单调递增，在定义域内不具有单调性，故C选项错误；对于D选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性，故D选项错误.故选：A.4.若函数在上是减函数，则与的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由为减函数可得，再利用函数为减函数可得结论. 【详解】因为函数在上是减函数，所以，得，因为在上是减函数，所以，故选：B5.函数在单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可.【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.6.已知，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用换元法计算可得.【详解】因为，令，则，，所以，，所以.故选：D 7.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.【详解】［方法一］：特殊函数法由题意，不妨设，因为，所以，化简得．故选：D.［方法二］：【最优解】特殊值法假设可取，则有，又因为，所以与矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故选：D.［方法三］：直接法根据题意，奇函数，若，则，因为在单调递减，且，所以，即有：，解可得：.故选：D.【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法； 方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．8.若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先分段分析函数的单调性，再利用函数在上是增函数，第一段函数的最大值小于等于第二段函数的最小值，即可得出结果.【详解】当时，，函数的对称轴为：，当时，，函数为一次函数，又函数在上是增函数，则，所以实数a的取值范围是：.故选：D.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性.属于较易题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选）下列命题为真命题的是（）A.， B.“”是“”的必要而不充分条件C.若x，y是无理数，则是无理数D.设全集为R，若，则【答案】ABD【解析】【分析】对A，有实数解，举例即可判断；对B，分别判断必要性和充分性；对C，x，y的无理数部分互为相反数时，不是无理数；对D，由补集概念即可判断【详解】对A，当时，成立，故A正确；对B，当时，成立，但当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故B正确；对C，当，时，，不是无理数，故C错误；对D，全集为R，若，则，故D正确.故选：ABD.10.下列说法中正确的有（）.A.设，是两个集合，若，则B.函数与为同一个函数C.函数的最小值为2D.设是定义在上的函数，则函数是奇函数【答案】AD【解析】【分析】根据集合间的运算及关系可确定A选项；根据函数的解析式是否相同可判断B选项；根据基本不等式判断C选项；利用函数的奇偶性概念确定D选项．【详解】对于A选项，若，则，故A正确；对于B选项，，，解析式不同，故B错误； 对于C选项，，但是，等号不能成立，故C错误；对于D选项，令，则，，且，故D正确；故选：AD.11.已知，若，则下列关系式中恒成立的有（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】首先判断，，不确定，再利用不等式的性质，判断选项.【详解】由条件可知，，，不确定，A.因为，，所以，故A正确；B.，所以，故B正确；C.当时，，，当时，，此时，即，综上可知，C正确；D.由C可知，，则，两边同时乘以，则，故D错误.故选：ABC12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A.若为的跟随区间，则B.函数存在跟随区间 C.若函数存在跟随区间，则D.二次函数存在“3倍跟随区间”【答案】ACD【解析】【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有，解得或1（舍，所以，正确；选项：若存在跟随区间，又因为函数在单调区间上递减，图象如图示，则区间一定是函数的单调区间，即或,则有，解得，此时异号，故函数不存在跟随区间，不正确；选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减， 若存跟随区间，则有，即，两式作差得：，即，又，所以，得，所以，设，则，即在区间上有两个不相等的实数根，只需：，解得，正确；选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为，当时，函数在定义域上单调递增，则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，故存在定义域为使得值域为，正确，故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每道题5分，共20分.13.若“,”是真命题,则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式在上恒成立可知其，由此构造不等式求得结果.【详解】由命题为真可知：，解得：的取值范围为：故答案为： 【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式在上恒成立问题的求解；关键是明确若一元二次不等式在上恒成立，则需确定开口方向和判别式.14.已知函数，则该函数在区间上的值域是_____________【答案】【解析】【分析】首先判断函数的单调性，即可求出函数的值域.【详解】因为，，设，则，，，，即，，即，函数在区间上单调递减；又，，所以，即函数在区间上的值域是.故答案为：15.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值为_______．【答案】【解析】【分析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.【详解】由得或，因为“”是“”的必要不充分条件，设或，， 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以．故答案为：．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．16.已知，，满足，存在实数m，对于任意x，y，使得恒成立，则的最大值为____________.【答案】2【解析】【分析】首先根据题意得到，从而得到，即，再根据恒成立，即可得到的最大值.【详解】因为，，所以，所以.即，，解得.因为恒成立，所以，即.所以的最大值为.故答案为： 【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知幂函数在上单调递增，函数.（1）求的值;（2）当时，记的值域分别为集合，求【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）根据幂函数解析式的特点，以及性质，列式求的值；（2）首先分别求，再求.【小问1详解】依题意得，或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，当时，在上单调递增，满足条件，.【小问2详解】由（1）可知，，当时，函数和均单调递增.所以集合,所以.18.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明;（2）用定义证明:在区间上单调递减.【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可证明； （2）利用单调性的定义法，即可证明.【小问1详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，函数是奇函数综上所述，结论是:函数是奇函数【小问2详解】设，，则所以所以在区间上单调递减.19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求;（2）求函数的解析式;（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数，，代入求值；（2）设，，根据，即可求解；（3）根据函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性求解. 【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，所以;【小问2详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，，所以任取，则，所以.因为函数是定义在上的奇函数，所以,【小问3详解】当时，，所以在上单增;因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增，所以可化为:即解得:，即实数的取值范围是.20.新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意得千件药品销售额为万元，进而得；（Ⅱ）当时，由二次函数性质得当时，取得最大值万元，当时，由基本不等式得当时，取得最大值1000万元，进而得年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.【详解】（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，依题意得：当时，.当时，.所以.（Ⅱ）当时，.此时，当时，取得最大值万元.当时，.此时，即时，取得最大值1000万元.由于，所以当年产量100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，此时可捐赠10万元物资款.【点睛】关键点点睛：本题考查数学应用题，解决问题的关键是根据题意，建立数学模型，将实际问题数学化，再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案，最后回归实际应用问题，作答，考查知识迁移应用能力，数学建模能力，是中档题.21.已知二次函数满足，且. （1）求的解析式；（2）当时，的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可.（2）依题意在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，构造函数并求出函数的最大值，即可得解.【小问1详解】依题意，设，则，又，所以，解得，所以，又，解得，所以的解析式是.【小问2详解】依题意在上恒成立，所以在上恒成立，令，，令，，显然在上单调递增，所以，所以，所以.22.已知函数在区间上是单调函数.（1）求实数的所有取值组成的集合； （2）试写出在区间上的最大值；（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性列式可解得结果；（2）由（1）知，或，分类讨论并根据二次函数的单调性求出最大值可得解；（3）求出，将问题转化为当时，恒成立，然后对分类讨论求出的最大最小值代入可解得结果.【详解】（1）对称轴为，所以或，所以（2）由（1）知，或，当时，函数在上递减，所以；当时，函数在上递增，所以，所以.（3）由得，，所以，问题转化为当时，恒成立.①当时，为递减函数，所以，由解得.与矛盾.②当时，在上递减，在上递增， 因为，所以，由解得，则，③当时，在上递减，在上递增，在上递增，因为，所以，由解得，综上可知：。【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若上恒成立，则；③若在上有解，则；④若在上有解，则；