福建省厦门市2022-2023学年高一数学下学期期末质量检测试题（Word版附解析）

厦门市2022—2023学年第二学期高一年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名境写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘淇的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.马在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A.1B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数除法求得复数，进而可得结果.【详解】由题意可得：，所以复数的虚部为1.故选：A.2.某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为（）A.25B.30C.40D.45【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样运算求解.【详解】由题意可知：高三抽取人，所以高一年和高二年共抽取的学生数为. 故选：C.3.将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据圆柱底面直径与高的关系可知球体最大直径，然后可得.【详解】由题可知，圆柱的底面直径为4，高为3，因为，所以该圆柱体铁块能磨制的最大球体直径为3，半径为，所以该球体的最大体积为.故选：B4.一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B【解析】【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解.【详解】设红球的个数为，由题意可知：，所以红球的个数最可能是5个，故选：B5.在平行四边形中，，，设，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的线性运算结合平行四边形的性质运算求解.【详解】由题意可得：. 故选：A.6.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求，然后由概率性质计算可得.【详解】由题知，，因为，所以，即，解得.故选：C7.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】将直三棱柱补形为长方体模型，在长方体中容易找出线面之间的关系，通过平行线平移法作出异面直线所成的角，然后角三角形求解．【详解】如图，直三棱柱中，，将其补形为长方体连接，， 显然四边形为平行四边形，所以．则（或其补角）为异面直线与所成角．在长方体中，，，．．．在中，．所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．8.一个人骑自行车由地出发向正东方向骑行了到达地，然后由地向南偏东方向骑行了到达地，再从地向北偏东方向骑行了到达地，则两地的距离为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，作出几何图形，延长AB交CD于点E，再利用余弦定理求解作答.【详解】如图，，延长AB交CD于点E，则， 因此是正三角形，，于是，在中，由余弦定理得，所以两地的距离为.故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.如图是全国居民消费价格涨跌幅的统计图（月度同比增长率是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比增长率是指本月和上一个月相比较的增长率），从2022年5月到2023年5月（）A.全国居民消费价格月度同比涨跌幅的极差为B.2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大C.2023年5月份全国居民消费价格比2022年5月份全国居民消费价格上涨了D.2023年2月份开始，全国居民消费价格持续下降【答案】BCD【解析】 【分析】观察统计图，观察月度环比，月度同比增长率的变化趋势即可得．【详解】A项，由图可知最大月度同比涨幅最大为2.8，最小为0.1，所以，全国居民消费价格月度同比涨跌幅的极差为，A错误；B项，月度环比曲线中，2023年1月份全国居民消费价格月度环比涨幅最大为，B正确；C项，2023年5月份月度同比增长为，则全国居民消费价格上涨了，C正确；D项，2023年2月份开始，月度环比增长率都为负数，则全国居民消费价格持续下降，D正确．故选：BCD．10.在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（）A.B.C.在方向上的投影向量的模为1D.存在实数，使得与共线【答案】BCD【解析】【分析】由题意可得：，根据向量的坐标运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：.对于选项A：因为，所以，不垂直，故A错误；对于选项B：因为，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于选项D：因为，若与共线，则，解得，所以当时，与共线，故D正确；故选：BCD.11.已知复数，，在复平面内对应的点分别为，且不共线，为复平面的坐标原点．若，则（）A.B.C.四边形为菱形D.若，则四边形为正方形【答案】ACD【解析】【分析】设，由复数乘法运算和复数模公式可判断A；利用两点间距离公式和勾股定理可判断B；由向量加法的平行四边形法则，结合已知可判断C；根据可推得，结合B可判断D.【详解】设，则，，因为，，所以A正确；因为，则，因为不共线，所以，即.因为，所以，由，得，所以当且时，不垂直，B错误；因为，，且不共线，所以四边形为菱形，C正确；若，故，即， 由上可知，此时，又，，所以四边形为正方形，D正确.故选：ACD12.已知正四面体的棱长为，和的重心分别为点、，则（）A.B.平面C.二面角的余弦值为D.直线到平面的距离为【答案】AC【解析】【分析】利用三角形重心的几何性质结合平行线的传递性可判断A选项；求出与所成的角，可判断B选项；利用二面角的定义结合余弦定理可判断C选项；求出点到平面的距离，结合可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，可判断D选项.【详解】如下图所示：对于A选项，延长交于点，延长交于点，连接、，则、分别为、的中点，所以，，因为和的重心分别为点、，则，所以，，所以，，A对；对于B选项，因为，且，则与所成角为，故与平面不垂直，B错；对于C选项，取的中点，连接、，因为是边长为的等边三角形，则，且， 同理可得，，则二面角的平面角为，由余弦定理可得，因此，二面角的余弦值为，C对；对于D选项，设点在底面的射影为点，则点为等边的中心，且，因为平面，平面，所以，，因为，平面，平面，所以，平面，所以，直线到平面的距离为点到平面的距离，因为，故点到平面的距离为，D错.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.方程在复数范围内的根为______．【答案】【解析】【分析】把方程化为，直接开方即可.【详解】因为，即，所以.故答案为：14.如图，用斜二测画法画出水平放置的直观图为，已知，，则的周长为______．【答案】12【解析】 【分析】把直观图还原为原图形，利用勾股定理求出斜边长，再计算周长．【详解】把直观图△还原为原，如图所示：所以，，所以，所以的周长为．故答案为：12．15.为调查某中学高一年级学生的身高情况，从中随机抽取100名学生作为样本，在统计过程中，甲、乙两名同学因事缺席，测得其余98名同学的平均身高为，方差为50，之后补测得甲、乙的身高分别为与，则样本的方差为______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．【详解】设除甲、乙外其他98同学的身高为，，，，甲，乙的身高分别为，，由题意可知，总样本的平均数为，，故样本的方差为：．故答案为：49.5．16.已知的内解所对的边分別为，且，，，则______；若内有一点，使得，，则______．【答案】①.②.【解析】 【分析】第一空，根据余弦定理先得，再根据余弦定理得；第二空，根据，，得到，，分别在，中解三角形，结合边角之间的关系可得.【详解】在中，由余弦定理得，所以，所以又因，所以，所以，因，，所以，，因，所以又，且，所以．同理，所以，设，在中，，所以，所以，在中，， 所以,由正弦定理得，即所以，得，得，得，所以，即．故答案为：；【点睛】关键点睛：本题考查解三角形，解题关键点是能找到，，然后找到和中有关系的量，分别在两个三角形中解三角形，通过相关量之间的联系，可得的相关等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在四边形中，，，，其中，为不共线的向量．（1）判断四边形的形状，并给出证明；（2）若，，与的夹角为，为中点，求．【答案】（1）四边形为梯形，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可；（2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得.【小问1详解】因为，，所以，又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形．【小问2详解】因为，所以，因为为中点，所以，所以，所以，所以，因为，所以．18.如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点．（1）求证：//平面；（2）若，求三棱唯的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）解法一：构造平行四边形，根据线面平行判定定理证明即可；解法二：构造平行平面，利用面面平行的性质证明线面平行；（2）根据几何体的线面关系确定底面积与高度距离，即可的体积. 【小问1详解】解法一：取中点，连接，，因为是中点，所以，，因为是中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．解法二：取中点，连接，，因为是中点，所以，因为平面，平面，所以平面．因为是中点，是中点所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 因平面，平面，所以平面，因为平面，平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面．【小问2详解】取中点，连接，在正三棱柱中，所以，且，因为平面平面，所以，因为，平面，平面，所以平面，即平面，所以的长为点到平面的距离，又的面积为，所以，所以三棱锥的体积为．19.工作椅的座高是影响坐姿舒适程度的主要因素之一，符合人体工程学的合理座高约等于人体的“小腿加足高”．在某市居民中抽样调查了50位女性（岁）和50位男性（岁）的“小腿加足高”的数据（单位：），分别按从小到大排序如下： 女性345354356358363374376378379379380381382382382383384385386386387387387389389390390391391392392392392393393395396397397398399404404405409411417417418420男性383383384387388391393395399402403404405405405406409410411411411412413415415415416416418418419424427427428431431432432437437438441443447449450452457459（1）按如下方式把100个样本观测数据以组距20分为6组：，，．．．，，画频率分布直方图．根据所给数据补全直方图（用阴影表示），并估计总体的大致分布情况；（2）根据国家标准，以男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数作为工作椅座高的上、下限值．根据这次调查结果，确定工作椅座高的范围，并判断是否在国家标准范围（单位：）内？若不在，请你从统计学的角度分析可能的原因．【答案】（1）答案见解析（2）本次调查所得范围不在国家标准范围内，理由解析【解析】 【分析】（1）由题意，得到在区间和上的频数，可得相对应的频率组距，进而补全频率分布直方图，再求解即可；（2）结合（1）中所得信息，求出男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数和女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数的数值，将其与国家标准对比，进而即可求解．【小问1详解】由题意知在区间和上的频数分别为40，12，所以在区间和上的频率/组距分别为，补全频率分布直方图如下：所以由直方图可以看出，所对应的矩形面积最大，次之，并且整幅直方图具有一定的对称性．由此可以推测该市居民的小腿加足高的长度集中在附近，小腿加足高特别短或特别长的居民人数都较少．【小问2详解】因为，，所以女性的“小腿加足高”数据的第5百分位数为女性的第3个数据即356，男性的“小腿加足高”数据的第95百分位数为男性的第48个数据即452，所以工作椅座高的范围为．所以本次调查所得范围不在国家标准范围内．产生差异的主要原因为：①由样本的代表性所引起的，因为该市的调查结果不能代表全国的调查结果；②样本容量过小；③测量产生的误差等．20.已知的内解所对的边分别为，满足． （1）求证：；（2）若为上一点，且，求的面积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再逆用差角正弦公式可得，结合角的取值范围即可证明；（2）在中，由，，可得，利用正弦定理可求得，，再利用三角形的面积公式，结合倍角正弦公式可化简为，结合角的范围即可求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，即，因为，，所以，所以，所以或．若，则；若，则，舍去；所以成立．【小问2详解】在中，因为，，所以，由正弦定理得，即，所以．在中，由正弦定理得，因为，所以．因为， 又，所以，所以的面积．又，所以，所以，所以当，即时，的面积最大值为2．21.为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号“1，2，3”，白球编号为“4，5”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个白球获胜编号之和为获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为（2）的所有可能取值为．【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，进而利用表格得到编号之和为的概率，由此得解.【小问1详解】设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球样本空间，则，因为，所以，所以，所以游戏二获胜的概率为．【小问2详解】设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，则，且，，互斥，相互独立，所以又，且，，互斥，所以若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，所以，即．进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：第二次第一次12345123 45当时，，舍去当时，，满足题意，因此的所有可能取值为．【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.22.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．（1）若平面平面，求证：；（2）若，设和平面所成角为，求的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，再利用线面垂直的性质即可证明；（2）解法一：取中点，连接，．利用面面垂直的性质定理得平面，设，分、和讨论，再利用换元法和基本不等式即可求出最值；解法二：取中点，连接，．利用面面垂直的性质定理得平面，延长至点，使得，设，则，计算得，利用基本不等式即可得到最值. 【小问1详解】取中点，连接．因为，，，，为中点，所以四边形正方形，所以，所以，，所以，，所以，即．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，即．.【小问2详解】解法一：取中点，连接，．在中，，，所以，所以为等腰直角三角形．所以，．因为为等腰直角三角形，所以，又平面，所以平面．又平面，所以平面平面．在平面中，过点作于点，连接，又平面平面，平面平面平面，所以平面．所以和平面所成角为，即．设，则①当时，在中，，，所以．②当时，在中，，， 所以．在中，因为，所以，在中，，（※）③当，，，符合（※）．综上，令，，则，所以，当且仅当等号成立，此时，所以的最大值为．解法二：取中点，连接，．在中，，，所以，所以为等腰直角三角形．所以，．因为为等腰直角三角形，所以，又平面，所以平面．又平面，所以平面平面．在平面中，过点作于点，连接，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．所以和平面所成角为，即．延长至点，使得，设，则．当点与点不重合时，即，在中，，，所以，在中，，，所以， 在中，（※），当点与重合时，此时，，，符合（※），所以．所以，令，则，．所以，当且仅当等号成立，此时，所以的最大值为．.【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是作出合理辅助线，设，则，利用勾股定理得到，最后利用基本不等式即可得到最值.