福建省三明市2022-2023学年高一数学下学期4月期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年第二学期高中期中考试高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.若复数，，则复数（）A.B.3C.1D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘法运算以及复数的相等，求得，即得答案.【详解】因为复数，，即，故，故选：B2.若，则z=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解.【详解】由得，故选：C3.如图，平面平面，，，，直线（点不同于），过三点确定的平面为，则平面，的交线必过（）A.点AB.点BC.点C，但不过点DD.点C和点D 【答案】D【解析】【分析】根据平面的基本性质判断即可.【详解】对于AB，假设，又，则，又，所以，又，所以，与矛盾，则，即平面，的交线不过点A，故A错误，同理，B错误；对于CD，因，所以，即点在与的交线上，故C错误，D正确.故选：D.4.已知向量，，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用向量在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得出结果.【详解】，∴，又∵向量，∴向量在的投影为，所以，向量在方向上的投影向量为.故选：A.【点睛】本题考查投影向量坐标的计算，考查向量投影的定义的应用，考查计算能力，属于基础题.5.已知向量，，，则的值是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据，可得，再利用同角之间的公式化简，代入即可得解.【详解】因为向量，，，即故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查向量平行的坐标运算，及利用同角之间的公式化简求值，解题的关键是的变形，考查学生的运算求解能力，属于基础题.6.已知，，若，则值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出向量，的坐标，再利用平面向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因为，，所以，,又，所以，解得，所以.故选：D.7.在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（　　）A.B.C.D.或 【答案】A【解析】【分析】作出图形可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围.【详解】如下图所示：因为有两解，且，，则，即.故选：A.8.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】由同角关系求，由两角差正弦公式求，设，由正弦定理求，由余弦定理求.【详解】因为，，所以，而， 在中，设，则，由正弦定理得，解得，由余弦定理，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．部分选对的得2分．9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A.B.C.z的共轭复数为D.z是关于x的方程的一个根【答案】BD【解析】【分析】根据复数的除法运算求得，根据模的计算可判断A；根据复数的乘方判断B；根据共轭复数的概念判断C；计算，判断D.【详解】由题意得，故，A错误；，B正确；的共轭复数为，C错误；，即z是关于x的方程的一个根，D正确，故选：BD10.如图是一个正方体的侧面展开图，在原立方体中，以下关系判断正确的是（）A.B.与相交C.D.与异面【答案】BCD【解析】 【分析】根据正方体平面展开图，画出原正方体，标出各顶点，找平行线、相交直线、异面直线，逐一判断即可.【详解】画出原正方体如图所示，不平行，所以A错；与相交，所以B正确；由正方体的性质知，所以C正确；与即不平行也不相交，所以与是异面直线，所以D正确.故选：BCD.11.设非零向量的夹角为为任意非零向量，定义运算，则下列结论正确的是（）A.若，则B.C.D.若，则的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据的定义，以及向量运算规则逐项分析.【详解】对于A，因为，并且，所以，解得或，所以，故选项A正确；对于B，不妨取，设与的夹角，与的夹角为，与的夹角为，则，，此时，故选项B错误； 对于C，，故选项C正确；对于D，当时，，当且仅当时取等号，所以，故选项D正确；故选：ACD.12.在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（）A.B.C.的最大值为3D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设，外接圆直径为，故，A正确；锐角中，则，故，B错误；，则，当且仅当时等号成立，C正确；由C分析知：，而，又且，则 ，而，所以，则，所以，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.复数（其中i是虚数单位）的虚部是__________.【答案】【解析】【分析】根据复数的乘方运算求解.【详解】因为，所以复数的虚部为.故答案为：.14.已知点，，是直线上的一点，且，那么点的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可得，再由即可得出.【详解】设点的坐标为，则，又，即，解得；所以点的坐标为.故答案为： 15.如图，已知A，B，C共线，且向量，，则________．【答案】【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得解．【详解】因为，所以，则，因为，不共线，故,所以.故答案为：16.在平面四边形中，是等边三角形，，，，则________；的面积是________．【答案】①.##②.【解析】【分析】在中，由余弦定理可得，从而求得的余弦值和正弦值，由两角和的正弦公式，可得，再在中，运用三角形面积公式即可得解．【详解】由为等边三角形，可得，在中，，，，由余弦定理可得， 整理得，解得（负值舍去），设，则，易知，则，所以，则的面积为．故答案为：；．四、解答题：本小题共6小题，共70分．17.已知复数，其中i为虚数单位，.（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）z是纯虚数需要满足实部等于0，虚部不等于0，即可求出结果；（2）z在复平面内对应的点在第二象限，需要满足实部小于0，虚部大于0.【小问1详解】因为z是纯虚数，所以，解得.【小问2详解】因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解得，所以m的取值范围为.18.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律，求出的值，即可得出答案；（2）先根据数量积的运算律，求出的值，即可得出的值，进而根据数量积的运算得出的值.然后根据夹角公式，即可得出结果.【小问1详解】由已知可得，.所以有，所以.【小问2详解】因为，所以.又，所以，所以与的夹角为．19.如图，长方体的底面是正方形，E，F分别是，上的点，且 ，．（1）证明：点F平面内；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用长方体的性质得到，利用对应线段成比例和相似三角形得到，再利用基本事实4得到，即证明四点共面；（2）利用等体积法和三棱锥的体积公式进行求解.【小问1详解】证明：如图，连接，，长方体中，，且，所以四边形是平行四边形，则． 因为，，所以，所以，所以，所以，所以四点共面，即点在平面内．【小问2详解】解：在长方体中，点到平面的距离即为点到平面的距离，即为；所以．20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求A；（2）若，点在边上，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理或者正弦定理边角互化求解得；（2）利用根据余弦定理解得，然后解，根据余弦定理或者向量表示解得【小问1详解】方法一：因为，由余弦定理得，， 整理得，所以，因为，所以方法二：因为，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以，整理得因为，所以，所以，又，所以.小问2详解】因为，由余弦定理得：，整理得，又，所以.方法一：所以.因为点在边上，， 所以为边上靠近的三等分点，所以.在中，，又，所以.方法二：，又，所以.21.从以下三个条件中选一个，补充到下面问题中，并解答．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足________（填写序号即可）．①，②，③（1）求B；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与余弦定理，结合三角函数的和差公式，逐一分析求解各条件即可；（2）利用正弦定理与余弦函数和倍角公式将转化为关于角的函数，再由锐角确定角的范围，从而得解.【小问1详解】 选①：因为，所以由正弦定理得，因为，所以，又因为，所以.选②：因为，所以由正弦定理得，即，故由余弦定理得，又因为，所以.选③：因为，所以，则，又因为，所以.【小问2详解】由（1）知，又，所以由正弦定理，得，，则，由锐角得且， 所以，则，所以，从而，故的取值范围为.22.在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．（1）当时，求四边形的面积；（2）求灯柱的高（用表示）；（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．【答案】（1）（2）（3），最小值为【解析】【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解；（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.【小问1详解】当时，，所以，又 所以是等边三角形，所以，所以在中，，即，所以；【小问2详解】，，，在中，由正弦定理得，所以所以在中，由正弦定理得，所以，所以，所以；【小问3详解】在中，由正弦定理得，所以，所以所以，因为，所以， 所以当，即时，取最小值，故关于的函数表达式为，最小值为.