第十二章分式和分式方程12.1分式1教案（冀教版八上）

12.1分式（1）教学目标【知识与能力】1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.【过程与方法】启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.【情感态度价值观】1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的比较,培养学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.教学重难点【教学重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式的基本性质.【教学难点】分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?500p-2-500p盒.[设计意图]　通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v(m/s),那么vd(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.-6- 问题:如果知道vd中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?[设计意图]　通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要　　　　个月,实际完成一期工程用了　　　　个月. 让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要2400x个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.[设计意图]　通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.二、新知构建：活动一:做一做——感知分式　　[过渡语]　(针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b<a)天完成的工程量又是多少?2.已知甲、乙两地之间的路程为mkm.如果A车的速度为nkm/h,B车比A车每小时多行20km,那么从甲地到乙地,A车和B车所用的时间各为多少?(二)尝试对所列代数式分类师:同学们能列出这两个问题中的相关代数式吗?生:(列代数式、老师随时板书)15,35;1a,ba;mn,mn+20.师:刚才同学们列出的代数式有什么共同特点?你能把它们分成两类吗?预设:生1:都是分数.生2:按照分母是否含有字母分两类.生3:按照分子是否含有字母分两类.[设计意图]　通过分类活动,让学生积极参与到课堂思考活动当中,在分类中发现分母含有字母这个重要特征,为总结和理解分式的概念奠定基础.活动二:大家谈谈——总结分式定义　　[过渡语]　大家按照分母是否含有字母把这些式子分成两类,我们给这些分母中含有字-6- 母的式子下个定义吧!思路一问题:1.以上代数式中哪些是整式?哪些不是整式?2.不是整式的代数式有哪些共同特征?教师向学生指出,类比和归纳是探索新概念的重要方法.在学生观察、归纳的基础上,教师板书分式定义:一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.类比分数剖析分式概念:形式:与分数一样,分式也是由分子、分母和分数线组成.内容:分数的分子、分母都是整数,分式的分子、分母都是整式.要求:分式的分母中必须含字母;分子中可以含字母,也可以不含字母.思路二师:下面请同学们看一下这四个式子,看它们有什么相同点和不同点?107,sa,20033,sv.学生根据自己的观察,说出:107,20033是分数,是整式.师:而另两个式子,看它们有什么特点?请同学们自己总结一下.学生思考后说:分母中有字母.引导学生归纳:一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中,A,B都是整式,且B含有字母.A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.活动三:例题讲解——深化对分式的认识　指出下列各式中,哪些是整式,哪些是分式.x-2,x+35,5x2,x-33x+2,abx-y,14,2x.思考:1.含有分母的式子就是分式吗?(不是,分式的分母中必须含有字母)2.分式和整式有什么关系?(分式可以看成两个整式相除的商,除式中要含有字母)学生分析,得出结论.解:x-2,x+35,5x2,14都是整式;因为x-33x+2,abx-y,2x的分母中都含有字母,所以它们都是分式.[设计意图]　通过观察、归纳、总结出整式与分式的异同,类比分数,合理联想,获得分式概念,通过问题分析加深学生对分式概念的理解,从而揭示分式概念的本质.活动四:大家谈谈——分式的字母可以任意取值吗在什么情况下,下列各分式无意义?2x,x-33x+2,abx-y.问题:1.分数在什么情况下无意义?-6- 2.分式中分母的字母可以任意取值吗?3.在什么情况下上面的三个分式无意义?[处理方式]　学生交流、老师总结强调.(1)分式有意义,需要分母不为0,需要解一个带“≠”的不等式;反之,当分式无意义时,则分母为0.(2)分式的值为0,既要分子等于0,也要分母不为0.可以用方程和不等式组成条件组表示上述条件.[设计意图]　由学生自己发现问题、解决问题并找出关键所在,既能激发学生的求知欲望,又能有效深化知识.同时通过形象比喻“分数线是路面,分母是陷阱”使学生品味数学的趣味性.　(补充例题)当x取什么值时,下列分式有意义?(1)x-14x+1;　(2)x1-x;　(3)1x+3-1x-2.〔解析〕　只有当分母不为零时,分式才有意义.解:(1)要使x-14x+1有意义,必须使4x+1≠0,即x≠-14.所以当x≠-14时,x-14x+1有意义.(2)要使x1-x有意义,必须使1-x≠0,即x≠±1,所以当x≠±1时,x1-x有意义.(3)要使1x+3-1x-2有意义,必须使x+3≠0且x-2≠0,即x≠-3且x≠2.所以当x≠-3且x≠2时,1x+3-1x-2有意义.强调:在解答分式有意义、无意义、值为零的题型时,一定要紧扣分式的概念.如分式AB有意义时,必须满足B≠0;无意义时,必须满足B=0;值为零时,必须满足A=0且B≠0.其中值为零已经隐含了分式有意义,只是值为零而已,注意区别.[知识拓展]　对于分式的定义和成立的条件要注意以下几点:1.分式的形式与分数类似,但它们是有区别的,分数是整式,不是分式,分式是两个整式相除的商式,其根本区别如下表:分式分数整式区别分母中含有字母分子、分母中都不含有字母分母中不含有字母　　2.分式与分数是相互联系的,由于分式中的字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性;分数是分式中字母取特殊值后的特殊情况.3.注意分母含π的代数式容易判断错误,如:52π不是分式,因为π不是字母,而是常数.4.注意分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.活动五:分式的基本性质　　[过渡语]　刚才我们研究了分式有意义的条件,小学我们学过分数.请同学们思考:你觉得13,26和412三个数相等吗?下面我们来看看分式是否具有类似的性质?1.请看下面的问题:-6- 填空:23=2×23×(　　)　10100=10÷10100÷(　　)学生独立思考,根据分数的基本性质,23的分子、分母同乘2,可得46,10100的分子、分母同除以10,得110.思考:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值会怎样?归纳:分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为:AB=A×MB×M,AB=A÷MB÷M(M是不等于0的整式).【注意】　因为0不能作除数,所以分式的分子、分母同乘(或除以)的这个整式不能等于0.2.“做一做”.分式a-ba(a-b)与bab相等吗?还有与它们相等的分式吗?如果有,请你写出两个这样的分式.引导学生得到:把a-ba(a-b)的分子、分母同除以(a-b)得到1a;把bab的分子、分母同除以b得到1a,所以两个分式相等.学生举出具有同样特点的两个分式.[知识拓展]　理解分式的基本性质应注意以下几点:分式的基本性质与分数的基本性质类似,要特别注意“不等于0”“同乘(或除以)”这些关键词.“同乘(或除以)”说明分子与分母都乘或都除以,并且分子与分母乘或除以的整式是相同的;“不等于0”是对分子与分母乘或除以的整式的限制条件.若原分式的分子(或分母)是多项式,运用分式的基本性质时,要先把分式的分子(或分母)用括号括上,再乘(或除以)非零整式.三、课堂小结：知识总结知识方法要点关键总结注意事项分式的概念一般地,把形如AB的代数式叫做分式,其中A,B是整式,且B中含有字母,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.分母含π的代数式容易判断错误.分式有意义或无意义或分式值为0的条件(1)分式有意义:分母不为0;(2)分式无意义:分母为0;(3)分式值为0:分子为0判断分式的值为0时,容易忽略分母不为0的条件.-6- 且分母不为0.分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变.规律方法总结1.判断分式的依据是看分母中是否含有字母,分母中含有字母的代数式是分式.2.(1)分式的基本性质的作用:分式进行变形的依据.(2)在运用分式基本性质时,必须注意乘或除以的是同一个整式,且不为0.(3)分式基本性质的研究方法:从分数→分式;从特殊→一般.-6-