2023中考数学真题分项汇报20图形的旋转(共30题)(解析版)

专题20图形的旋转（30题）一、单选题1．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（    ）  A．B．C．D．【答案】B【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解．【详解】解：由旋转性质可得：，，∵，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键．2．（2023·天津·统考中考真题）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（    ）  A．B．C．D．【答案】A【分析】根据旋转的性质即可解答．学科网（北京）股份有限公司 【详解】根据题意，由旋转的性质，可得，，，故B选项和D选项不符合题意，，故C选项不符合题意，，故A选项符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（　　）  A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中学科网（北京）股份有限公司 ，然后根据三角形的面积公式即可判断④．【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，，故①正确；设，∴,∴，∴，故②正确；当点在的延长线上时，如图所示  ∵，，∴∴∵，．∴，∴∴，故③正确；④如图所示，以为圆心，为半径画圆，  学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴当在的下方与相切时，的值最小，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，在中，∴取得最小值时，∴故④正确，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．4．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（    ）  A．2B．3C．D．【答案】D【分析】根据锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，学科网（北京）股份有限公司 ，三点共线，求得，，根据勾股定理求得，即，当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，，三点共线，则，，根据勾股定理求得，即，即可求得．【详解】∵为等腰直角三角形，，∴，当线段达到最长时，此时点在点的下方，且，，三点共线，如图：  则，，在中，，即，当线段达到最短时，此时点在点的上方，且，，三点共线，如图：  则，，在中，，即，学科网（北京）股份有限公司 故，故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段最长和最短时的位置是解题的关键．二、填空题5．（2023·江苏连云港·统考中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°．【答案】【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度．【详解】解：∵五边形是正五边形，∴，∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用．学科网（北京）股份有限公司 6．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是______．  【答案】【分析】根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度．【详解】∵为的平分线，，∴，∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．7．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为__________．  【答案】【分析】首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到学科网（北京）股份有限公司 ，进而得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵在中，，，，∴∵∴，∴∴∴∵∴∴∴∴．故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．8．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线分别是函数的图像，边长为的正的顶点在轴正半轴上，顶点、在轴上（在的左侧），现将绕原点顺时针旋转，当点在曲线上时，点恰好在曲线上，则的值为__________．【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画即可），当点在轴上，点、在轴上时，根据为等边三角形且，可得，过点、分别作轴垂线构造相似，则，根据相似三角形的性质得出，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．【详解】当点在轴上，点、在轴上时，连接，为等边三角形且，则，，学科网（北京）股份有限公司 如图所示，过点分别作轴的垂线，交轴分别于点，，，，，，，，．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为___________．  【答案】【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解．学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：连接，交于点P，如图，∵，点为的中点，∴，∵，∴,∴是等边三角形，∴；∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，∵，∴垂直平分，，∴点F在射线上运动，∴当时，最小，此时，∴；∵，∴，∴，∵，∴由勾股定理得，∴，∴；  学科网（北京）股份有限公司 故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点．10．（2023·江西·统考中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______．  【答案】或或【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解．【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，  ∵在中，，∴，∴是等边三角形，∴，，∴∴，∴∴，如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，    学科网（北京）股份有限公司 当点在的延长线上时，如图所示，则  当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示，∵，，∴四边形是平行四边形，∵∴四边形是矩形，∴即是直角三角形，  综上所述，旋转角的度数为或或故答案为：或或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．11．（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，，将绕着点A旋转，旋转后的点B落在上，点B的对应点为D，连接是的角平分线，则________．  学科网（北京）股份有限公司 【答案】【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，根据题意可得：，，∵是的角平分线，∴，∵，，∴，则在中，∵，∴，解得：；故答案为：  【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．12．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）．  【答案】学科网（北京）股份有限公司 【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．  在直角中，，则，则．∴．由旋转性质可知，，又，∴是等边三角形．∴．由旋转性质知，．故弧的长度为：；故答案为：【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．13．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为________．  【答案】5【分析】过点D作于点F，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、学科网（北京）股份有限公司 是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解．【详解】解：过点D作于点F，∵，，，∴，∵将绕点A逆时针方向旋转得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案为：5．学科网（北京）股份有限公司   【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为_______．【答案】【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，  ∵等腰，，．∴，∴，,∴，如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，      ∵，∴，，学科网（北京）股份有限公司 在中，，，∵等腰，，．∴，∵以点为旋转中心逆时针旋转，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，  在中，，∴在中，∴∴∴∴∴，综上所述，的长度为或，学科网（北京）股份有限公司 故答案为：或．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键．15．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是___________，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是___________．  【答案】；【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可．【详解】解：如图1，过点G作于H，  ∵，，∴，，学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，∴；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，由旋转的性质得：，，∴是等边三角形，∵，∴，∴，∵，∴，即垂直平分，∵是等腰直角三角形，∴点在直线上，连接，是旋转到的过程中任意位置，则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，∵，∴，∴，作于N，则，∴，过点B作交的延长线于M，则，∵，，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴线段扫过的面积，，，，故答案为：，．  【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键．三、解答题16．（2023·北京·统考中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．    (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点；(2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明．【答案】(1)见解析学科网（北京）股份有限公司 (2)，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；（2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中点；（2）；证明：如图2，延长到H使，连接，，∵，∴是的中位线，∴，，由旋转的性质得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，设，，则，，∴，∴，∵，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．  【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．17．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．  (1)将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值；(2)将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长．【答案】(1)最大值为，最小值为(2)【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解；（2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出学科网（北京）股份有限公司 ，进而可得，勾股定理解，即可求解．【详解】（1）解：依题意，，，当在的延长线上时，的距离最大，最大值为，当在线段上时，的距离最小，最小值为；  （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，  ∵绕顶点逆时针旋转，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．18．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上．  (1)将向下平移3个单位长度得到，画出；(2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出；(3)在（2）的运动过程中请计算出扫过的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）先作出点A、B、C平移后的对应点，、，然后顺次连接即可；（2）先作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，然后顺次连接即可；（3）证明为等腰直角三角形，求出，，根据旋转过程中扫过的面积等于的面积加扇形的面积即可得出答案．【详解】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：  （2）解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：学科网（北京）股份有限公司   （3）解：∵，，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，根据旋转可知，，∴，∴在旋转过程中扫过的面积为．  【点睛】本题主要考查了平移、旋转作图，勾股定理逆定理，扇形面积计算，解题的关键是作出平移或旋转后的对应点．19．（2023·辽宁·统考中考真题）在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点重合），连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．学科网（北京）股份有限公司 (1)如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；(2)如图，当点在线段上时，求证：；(3)连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）可先证，得到，根据锐角三角函数，可得到和的数量关系，进而得到线段与线段的数量关系．（2）可先证，得到，进而得到，问题即可得证．（3）分两种情况：①点D在线段上，过点作垂直于，交于点，过点作垂直于，交于点，设，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,设，可证，进一步证得是等腰直角三角形，，利用勾股定理，可用含的代数式表示，根据三角形面积公式，即可得到答案【详解】（1）解：．理由如下：如图，连接．根据图形旋转的性质可知．学科网（北京）股份有限公司 由题意可知，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形斜边上的中线，，．又，．在和中，．，．．．．（2）解：为等腰直角三角形斜边上的中线，．，．，，．，．，．在和中，．．．学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当点D在线段延长线上时，不满足条件，故分两种情况：①点D在线段上，如图，过点作垂直于，交于点；过点作垂直于，交于点．设，则．根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形．，．由（2）证明可知，．．．根据勾股定理可知，的面积与的面积之比②点D在线段的延长线上，过点作垂直于，交延长线于点,令交于点,连接,由题意知，四边形，是矩形，学科网（北京）股份有限公司 ∵∴即又∵，∴∴而∴∴是等腰直角三角形，设，则，∴中，的面积与的面积之比【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 20．（2023·四川乐山·统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（    ）  刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（    ）”处应填理由：____________________；（2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．  ①请在图中作出点；②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．学科网（北京）股份有限公司   【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等（2）①见解析；②问题拓展：【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①分别作和的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长公式求解即可；问题拓展，连接，交于，连接，，，由旋转得，，在和中求出和的长，可以求出，再证明，即可求出最后结果．【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等                  （2）①下图中，点O为所求                   ②连接，，扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置，，,，设，，，学科网（北京）股份有限公司 在旋转过程中，点经过的路径长为以点为圆心，圆心角为，为半径的所对应的弧长，点经过的路径长；  【问题拓展】解：连接，交于，连接，，如图所示  ．由旋转得，．    在中，．在中，，，．       ．．，       在和中，，学科网（北京）股份有限公司 又，，．又，，．【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角三角形．21．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且．  (1)如图1，求边上的高的长．(2)是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点．①如图2，当点落在射线上时，求的长．②当是直角三角形时，求的长．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；（2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可；②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案．【详解】（1）在中，，在中，．学科网（北京）股份有限公司 （2）①如图1，作于点，由（1）得，，则，作交延长线于点，则，  ∴．∵∴．由旋转知，∴．设，则．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋转得，，又因为，所以．情况一：当以为直角顶点时，如图2．  学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴落在线段延长线上．∵，∴，由（1）知，，∴．情况二：当以为直角顶点时，如图3．  设与射线的交点为，作于点．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．设，则，∴∵，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴，化简得，解得，∴．情况三：当以为直角顶点时，点落在的延长线上，不符合题意．综上所述，或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键．22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．  (1)求证：；(2)将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），判断的形状，并说明理由．(3)在（2）的条件下，已知，当时，求的长．【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)【分析】（1）根据正方形的基本性质以及“斜中半定理”等推出，即可证得结论；（2）由旋转的性质得，从而利用等腰三角形的性质推出，再结合正方形对角线的性质推出，即可证得结论；（3）结合已知信息推出，从而利用相似三角形的性质以及勾股定理进行计算求解即可．学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）证：∵四边形为正方形，∴，，∵点是的中点，∴，∴，∴，即：，在与中，∴，∴；（2）解：为等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质得：，∴，∴，，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形；（3）解：如图所示，延长交于点，∵，，∴，，∴，∵，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，，∴，解得：，（不合题意，舍去），∴．  【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质等，理解并熟练运用基本图形的证明方法和性质，掌握勾股定理等相关计算方式是解题关键．23．（2023·江苏扬州·统考中考真题）【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．【操作探究】学科网（北京）股份有限公司 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．  (1)当时，________；当时，________；(2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．【答案】(1)2；30或210(2)画图见解析；(3)【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；（2）证明四边形是正方形，得出，求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．【详解】（1）解：∵和中，∴，∴当时，与重合，如图所示：连接，  学科网（北京）股份有限公司 ∵，，∴为等边三角形，∴；当时，∵，∴当时，为直角三角形，，∴，当在下方时，如图所示：  ∵，∴此时；当在上方时，如图所示：  ∵，∴此时；综上分析可知，当时，或；故答案为：2；30或210．（2）解：当时，如图所示：  学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，∴，∵，又∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即两块三角板重叠部分图形的面积为．（3）解：∵，为的中点，∴，∴，∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，∵∴点F运动的路径长为．故答案为：．学科网（北京）股份有限公司   【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．24．（2023·湖南·统考中考真题）（1）[问题探究]如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．  ①求证：；②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；③探究与的数量关系，并说明理由．（2）[迁移探究]如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．  【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析（2），理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出学科网（北京）股份有限公司 ，证明，得出，进而可得结论；③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴；②的大小不发生变化，；证明：作，垂足分别为点M、N，如图，  ∵四边形是正方形，∴，，∴四边形是矩形，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即；③；证明：作交于点E，作于点F，如图，学科网（北京）股份有限公司       ∵四边形是正方形，∴，，∴，四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴，作于点M，则，∴，∵，∴，∴；（2）；证明：∵四边形是菱形，，∴，∴是等边三角形，垂直平分，∴，∵，∴，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，，，∴，都是等边三角形，∴，学科网（北京）股份有限公司     作于点M，则，∴，∴．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．25．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当的三个内角均小于时，如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，    由，可知为①三角形，故，又，故，由②可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有③；已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为④点．(2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为学科网（北京）股份有限公司 的“费马点”，求的值；  (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3)【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．【详解】（1）解：∵，∴为等边三角形；∴，，又，故，由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，∴，，∴，，学科网（北京）股份有限公司 又∵，∴，∴，∴；∵，∴，，∴，，∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．（2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接，由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，  ∵，∴，又∵∴，由旋转性质可知：，∴，∴最小值为，（3）∵总的铺设成本∴当最小时，总的铺设成本最低，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，学科网（北京）股份有限公司 由旋转性质可知：，，，，∴，∴，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，  过点作，垂足为，∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为总的铺设成本（元）故答案为：【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．26．（2023·四川·统考中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．  学科网（北京）股份有限公司 (1)若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是　　；(2)如图2，在(1)的条件下，若，，，求的长；(3)如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；（2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解．（3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解．【详解】（1）解：在中，，，且，，∴，，∴，，∴∴∴，故答案为：．（2）∵，且，，学科网（北京）股份有限公司 ∴，，延长交于点，如图所示，  ∵，∴，∴在中，，，∴，由（1）可得，∴，∴，在中，，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，  同（1）可得则，学科网（北京）股份有限公司 ∵，则，在中，，，∴在以为圆心，为半径的圆上运动，∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，  在中，∴,，∵，∴，过点作，于点，∴，，∵，∴，∴，中，．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 27．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．  (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．【答案】(1)(2)成立；理由见解析(3)或【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．【详解】（1）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∵，，∴，∴；故答案为：．  （2）解：成立；理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴；  学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：  设，则，根据解析（2）可知，，∴，∴，根据解析（2）可知，，∴，根据勾股定理得：，即，解得：或（舍去），∴此时；当点D在线段上时，连接，如图所示：  设，则，根据解析（2）可知，，∴，∴，根据解析（2）可知，，∴，根据勾股定理得：，即，学科网（北京）股份有限公司 解得：或（舍去），∴此时；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．28．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得．  【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：；【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值．【答案】[探究一]见解析；[探究二]见解析；[探究三]【分析】[探究一]证明，即可得证；[探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明[探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论．学科网（北京）股份有限公司 【详解】[探究一]∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上，∴，∴，∴，在与中∴∴[探究二]证明：如图所示，  ∵四边形是正方形，∴，又，∴，∵，∴，又∵，∴，又∵公共角，∴；[探究三]证明：∵是正方形的对角线，∴，，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∵，∴，即，∴，∴，，如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．  ∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．学科网（北京）股份有限公司 29．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．    特例感知：（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析【分析】（1）连接，，，根据正方形的性质求出，证明，推出，再利用余角的性质求出，推出即可；（2）根据正方形的性质直接得到，推出，得到是等腰直角三角形；（3）延长至点M，使，连接，证明，得到，推出，设交于点H，交于点N，得到，由得到，推出，进而得到，再证明，得到，，证得，再由，根据等腰三角形的三线合一的性质求出，即可证得是等腰直角三角形．【详解】（1）证明：连接，，，如图，学科网（北京）股份有限公司   ∵四边形，都是正方形，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即点P恰为的中点；（2）是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形，都是正方形，∴∴，∴是等腰直角三角形；（3）的形状不改变，延长至点M，使，连接，学科网（北京）股份有限公司   ∵四边形、四边形都是正方形，∴，，∵点P为的中点，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，设交于点H，交于点N，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质等，（3）中作辅助线利用中点构造全等三角形是解题的难点，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．30．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．  (1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；135(2)；理由见解析(3)或；理由见解析【分析】（1）根据题意画图即可；先求出，根据，求出学科网（北京）股份有限公司 ；（2）根据，，证明、P、B、E四点共圆，得出，求出，根据等腰三角形的判定即可得出结论；（3）分两种情况，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，分别画出图形，求出之间的数量关系即可．【详解】（1）解：如图所示：  ∵，∴，∵，∴，∴；故答案为：135．（2）解：；理由如下：连接，如图所示：  根据旋转可知，，∵，∴、P、B、E四点共圆，∴，∴，∴，∴．学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：  根据解析（2）可知，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∵为等腰直角三角形，∴，即；当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：  根据旋转可知，，∵，∴、B、P、E四点共圆，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，即；综上分析可知，或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合，并注意分类讨论．学科网（北京）股份有限公司