2023中考数学真题分项汇报15三角形及全等三角形(共30题)(解析版)

专题15三角形及全等三角形（30题）一、单选题1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D．两点之间线段最短【答案】A【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．【详解】解：O为、的中点，，，（对顶角相等），在与中，，，，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，，且，，则等于（　　）  学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【分析】可求，再由，即可求解．【详解】解：，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．3．（2023·云南·统考中考真题）如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ）  A．4米B．6米C．8米D．10米【答案】B【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解∶∵的中点分别为，∴是的中位线，∴米，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（    ）  学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：，，，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．【详解】A.，不符合题意；B.，不符合题意；C.，不符合题意；    D.，符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）  A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴；  故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．7．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（  ）    A．且B．且C．且D．且【答案】A【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：由作图过程可得：，∵，∴．∴．∴A选项符合题意；不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定,故C选项不符合题意，不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．8．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．  A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，学科网（北京）股份有限公司 因此无法得出，故A是假命题，∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命题；若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；若，则在和中，，∴，∴，故D是真命题；故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．9．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（    ）学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．或D．或【答案】C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，  ∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，  ∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．二、填空题学科网（北京）股份有限公司 10．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：，则，故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．11．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为__________．    【答案】8【分析】利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵点分别是的中点，∴，∴，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键．12．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，，则______．学科网（北京）股份有限公司   【答案】【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案为：．【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．13．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时，____．  【答案】【分析】根据公式求得，根据，即可求解．【详解】解：∵，，∴学科网（北京）股份有限公司 ∴,故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．14．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是__________．  【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．15．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．  【答案】3【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，学科网（北京）股份有限公司   在中，∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，，设，在中，∵，，∴，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2023·湖北十堰·统考中考真题）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则___________________．  【答案】【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到学科网（北京）股份有限公司 ，利用平角的定义计算即可．【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，，∵，∴，．  故答案为：．【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是解题的关键．17．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则_________．  【答案】【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】∵，，∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．18．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则___________．学科网（北京）股份有限公司   【答案】3【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵在中，为斜边上的中线，，∴，∴，∵为的中点，∴故答案为：3．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．19．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．【答案】【分析】根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，依题意，学科网（北京）股份有限公司 根据作图可知为的角平分线，∵∴，故答案为：．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．20．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一动点，连接，将沿翻折得到，交于点G，，且，则______．  【答案】【分析】于点M，于点N，则，过点G作于点P，设，根据得出，继而求得，，，再利用，求得，利用勾股定理求得，，故，【详解】由折叠的性质可知，是的角平分线，，用证明，从而得到，设，则，，利用勾股定理得到即，化简得，从而得出，利用三角形的面积公式得到：学科网（北京）股份有限公司 ．作于点M，于点N，则，过点G作于点P，  ∵于点M，∴，设，则，，又∵，，∴，，，∵，即，∴，，在中，，，设，则∴∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∵，，，，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∴，设，则，，在中，，即，化简得：，∴，∴故答案是：．【点睛】本题考查解直角三角形，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线并利用勾股定理列出方程是解题的关键．三、解答题21．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．  (1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，学科网（北京）股份有限公司 ∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．22．（2023·江西·统考中考真题）（1）计算：（2）如图，，平分．求证：．  【答案】（1）2（2）见解析【分析】（1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可；（2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可．【详解】解：（1）原式；（2）∵平分，∴，学科网（北京）股份有限公司 在和中，，∴．【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键．23．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的中点，．求证：．  【答案】见解析【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等．【详解】证明：是的中点，，在和中，，【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键．24．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图，，，．求证：．  【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得出，然后证明，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵，∴，学科网（北京）股份有限公司 ∵，∴即在与中，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．25．（2023·福建·统考中考真题）如图，．求证：．【答案】见解析【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：，即．在和中，．学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．26．（2023·全国·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．  【答案】证明见解析【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在和中，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC∥DB．求证：AC=BD．【答案】见解析【分析】要证明AC=BD，只要证明△AOC≌△BOD，根据AC//DB可得∠A=∠B，∠C=∠D，又知AO=BO，则可得到△AOC≌△BOD，从而求得结论．【详解】（方法一）∵AC//DB，∴∠A=∠B，∠C=∠D．学科网（北京）股份有限公司 在△AOC与△BOD中∵∠A=∠B，∠C=∠D，AO=BO，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．（方法二）∵AC//DB，∴∠A=∠B．在△AOC与△BOD中，∵，∴△AOC≌△BOD．∴AC=BD．28．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．  (1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．【答案】(1)(2)见解析(3)见解析【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；（3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证．【详解】（1）解：∵∴，学科网（北京）股份有限公司 ∵∴即；（2）证明：如图所示，∴∴，∵，∴∵，,∴∴∴∴（3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，  ∵，，∴，∴∵是的角平分线，学科网（北京）股份有限公司 ∴，∴∴∵，∴，，∴，又∵，∴，    即，∴，又，则，在中，，∴，∴【点睛】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．29．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．学科网（北京）股份有限公司   (1)求证：；(2)若，时，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：过点E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，学科网（北京）股份有限公司 ∴．  【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．30．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．    请写出平分的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）学科网（北京）股份有限公司   【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）先证明，可得，从而可得答案；（2）先证明，可得，可得是的角平分线；（3）先作的角平分线，再在角平分线上截取即可．【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；故答案为：（2）∵，，，∴，∴，∴是的角平分线；（3）如图，点即为所求作的点；  ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．学科网（北京）股份有限公司