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2023中考数学真题分项汇报13二次函数解答压轴题(共62题)(原卷版)

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专题13二次函数解答压轴题(62题)一、解答题1.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数.(1)当时,①求该函数图象的顶点坐标.②当时,求的取值范围.(2)当时,的最大值为2;当时,的最大值为3,求二次函数的表达式.2.(2023·浙江·统考中考真题)已知点和在二次函数是常数,的图像上.(1)当时,求和的值;(2)若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上,当时,求的取值范围;(3)求证:.学科网(北京)股份有限公司 3.(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数中,(1)若它的图象过点,则t的值为多少?(2)当时,y的最小值为,求出t的值:(3)如果都在这个二次函数的图象上,且,求m的取值范围.4.(2023·浙江杭州·统考中考真题)设二次函数,(,是实数).已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示:…0123……11…(1)若,求二次函数的表达式;(2)写出一个符合条件的的取值范围,使得随的增大而减小.(3)若在m、n、p这三个实数中,只有一个是正数,求的取值范围.学科网(北京)股份有限公司 5.(2023·湖南常德·统考中考真题)如图,二次函数的图象与x轴交于,两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为坐标原点,.  (1)求二次函数的表达式;(2)求四边形的面积;(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若,求P点的坐标.6.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.抛物线的对称轴与经过点的直线交于点,与轴交于点.  (1)求直线及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点,使得是以为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点的坐标;若不存在,请说明理由;(3)以点为圆心,画半径为2的圆,点为上一个动点,请求出的最小值.学科网(北京)股份有限公司 7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,二次函数的图像与轴分别交于点(点A在点的左侧),直线是对称轴.点在函数图像上,其横坐标大于4,连接,过点作,垂足为,以点为圆心,作半径为的圆,与相切,切点为.    (1)求点的坐标;(2)若以的切线长为边长的正方形的面积与的面积相等,且不经过点,求长的取值范围.8.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点,,矩形的边在线段上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上,设,当时,.  (1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持时的矩形不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.学科网(北京)股份有限公司 9.(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点.  (1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合),作轴,垂足为D,连接.①如图,若点P在第三象限,且,求点P的坐标;②直线交直线于点E,当点E关于直线的对称点落在y轴上时,请直接写出四边形的周长.10.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,抛物线与x轴交于,两点,与轴交于点.  (1)求抛物线解析式及,两点坐标;(2)以,,,为顶点的四边形是平行四边形,求点坐标;(3)该抛物线对称轴上是否存在点,使得,若存在,求出点学科网(北京)股份有限公司 的坐标;若不存在,请说明理由.11.(2023·四川达州·统考中考真题)如图,抛物线过点.  (1)求抛物线的解析式;(2)设点是直线上方抛物线上一点,求出的最大面积及此时点的坐标;(3)若点是抛物线对称轴上一动点,点为坐标平面内一点,是否存在以为边,点为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与坐标轴分别相交于点A,B,三点,其对称轴为.  (1)求该抛物线的解析式;(2)点是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线分别与轴,直线交于点,.①当时,求的长;②若,,的面积分别为,,,且满足,求点的坐标.学科网(北京)股份有限公司 13.(2023·全国·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点.点,在此抛物线上,其横坐标分别为,连接,.  (1)求此抛物线的解析式.(2)当点与此抛物线的顶点重合时,求的值.(3)当的边与轴平行时,求点与点的纵坐标的差.(4)设此抛物线在点与点之间部分(包括点和点)的最高点与最低点的纵坐标的差为,在点与点之间部分(包括点和点)的最高点与最低点的纵坐标的差为.当时,直接写出的值.14.(2023·重庆·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点,其中,.  (1)求该抛物线的表达式;(2)点是直线下方抛物线上一动点,过点作于点,求的最大值及此时点的坐标;(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移个单位,点为点的对应点,平移后的抛物线与轴交于点,为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点学科网(北京)股份有限公司 的坐标,并把求其中一个点的坐标的过程写出来.15.(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,已知抛物线与轴交于和两点,与轴交于点.直线过抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数解析式;(2)若直线与抛物线交于点,与直线交于点.①当取得最大值时,求的值和的最大值;②当是等腰三角形时,求点的坐标.16.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过点,与y轴交于点,直线与抛物线交于B,C两点.    (1)求抛物线的函数表达式;(2)若是以为腰的等腰三角形,求点B的坐标;(3)过点作y轴的垂线,交直线AB于点D,交直线AC于点E.试探究:是否存在常数m,使得始终成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 17.(2023·安徽·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点是坐标原点,抛物线经过点,对称轴为直线.(1)求的值;(2)已知点在抛物线上,点的横坐标为,点的横坐标为.过点作轴的垂线交直线于点,过点作轴的垂线交直线于点.(ⅰ)当时,求与的面积之和;(ⅱ)在抛物线对称轴右侧,是否存在点,使得以为顶点的四边形的面积为?若存在,请求出点的横坐标的值;若不存在,请说明理由.18.(2023·浙江金华·统考中考真题)如图,直线与轴,轴分别交于点,抛物线的顶点在直线上,与轴的交点为,其中点的坐标为.直线与直线相交于点.  (1)如图2,若抛物线经过原点.①求该抛物线的函数表达式;②求的值.(2)连接与能否相等?若能,求符合条件的点的横坐标;若不能,试说明理由.学科网(北京)股份有限公司 19.(2023·湖南·统考中考真题)如图,二次函数的图象与轴交于,两点,与轴交于点,其中,.  (1)求这个二次函数的表达式;(2)在二次函数图象上是否存在点,使得?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由;(3)点是对称轴上一点,且点的纵坐标为,当是锐角三角形时,求的取值范围.20.(2023·四川遂宁·统考中考真题)在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线经过点,,对称轴过点,,直线过点,且垂直于轴.过点的直线交抛物线于点、,交直线于点,其中点、Q在抛物线对称轴的左侧.  (1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当时,求点的坐标;(3)如图2,当点恰好在轴上时,为直线下方的抛物线上一动点,连接、,其中交于点,设的面积为,的面积为.求的最大值.学科网(北京)股份有限公司 21.(2023·四川眉山·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于点两点,与y轴交于点,点P是抛物线上的一个动点.  (1)求抛物线的表达式;(2)当点P在直线上方的抛物线上时,连接交于点D.如图1.当的值最大时,求点P的坐标及的最大值;(3)过点P作x轴的垂线交直线于点M,连接,将沿直线翻折,当点M的对应点恰好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.22.(2023·江西·统考中考真题)综合与实践问题提出:某兴趣小组开展综合实践活动:在中,,D为上一点,,动点P以每秒1个单位的速度从C点出发,在三角形边上沿匀速运动,到达点A时停止,以为边作正方形设点P的运动时间为,正方形的而积为S,探究S与t的关系  学科网(北京)股份有限公司 (1)初步感知:如图1,当点P由点C运动到点B时,①当时,_______.②S关于t的函数解析式为_______.(2)当点P由点B运动到点A时,经探究发现S是关于t的二次函数,并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息,求S关于t的函数解析式及线段的长.(3)延伸探究:若存在3个时刻()对应的正方形的面积均相等.①_______;②当时,求正方形的面积.23.(2023·新疆·统考中考真题)【建立模型】(1)如图,点是线段上的一点,,,,垂足分别为,,,.求证:;【类比迁移】(2)如图,一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点,将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点.①求点的坐标;②求直线的解析式;【拓展延伸】(3)如图,抛物线与轴交于,两点点在点的左侧,与轴交于点,已知点,,连接.抛物线上是否存在点,使得,若存在,求出点的横坐标.        学科网(北京)股份有限公司 24.(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1,抛物线与轴交于点,与直线交于点,点在轴上.点从点出发,沿线段方向匀速运动,运动到点时停止.(1)求抛物线的表达式;(2)当时,请在图1中过点作交抛物线于点,连接,,判断四边形的形状,并说明理由.(3)如图2,点从点开始运动时,点从点同时出发,以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动,点停止运动时点也停止运动.连接,,求的最小值.25.(2023·四川乐山·统考中考真题)已知是抛物(b为常数)上的两点,当时,总有(1)求b的值;(2)将抛物线平移后得到抛物线.探究下列问题:①若抛物线与抛物线有一个交点,求m的取值范围;②设抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E,外接圆的圆心为点F,如果对抛物线上的任意一点P,在抛物线上总存在一点Q,使得点P、Q的纵坐标相等.求长的取值范围.26.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于点,直线学科网(北京)股份有限公司 交抛物线于两点(点在点的左侧),交轴于点,交轴于点.  (1)求点的坐标;(2)是线段上一点,连接,且.①求证:是直角三角形;②的平分线交线段于点是直线上方抛物线上一动点,当时,求点的坐标.27.(2023·上海·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知直线与x轴交于点A,y轴交于点B,点C在线段上,以点C为顶点的抛物线M:经过点B.(1)求点A,B的坐标;(2)求b,c的值;(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,联结,且轴,如果点P在x轴上,且新抛物线过点B,求抛物线N的函数解析式.28.(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系中,已知点A在y轴正半轴上.学科网(北京)股份有限公司   (1)如果四个点中恰有三个点在二次函数(a为常数,且)的图象上.①________;②如图1,已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图象上,且轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上,点B、D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,试探究是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数(a为常数,且)的图象上,点B在点D的左侧,设点B、D的横坐标分别为m、n,直接写出m、n满足的等量关系式.29.(2023·湖南岳阳·统考中考真题)已知抛物线与轴交于两点,交学科网(北京)股份有限公司 轴于点.  (1)请求出抛物线的表达式.(2)如图1,在轴上有一点,点在抛物线上,点为坐标平面内一点,是否存在点使得四边形为正方形?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线向右平移2个单位,得到抛物线,抛物线的顶点为,与轴正半轴交于点,抛物线上是否存在点,使得?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.30.(2023·湖南永州·统考中考真题)如图1,抛物线(,,为常数)经过点,顶点坐标为,点为抛物线上的动点,轴于H,且.  (1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线交于点,求的最大值;(3)如图2,四边形为正方形,交轴于点,交的延长线于,且,求点的横坐标.学科网(北京)股份有限公司 31.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,抛物线经过两点,并交x轴于另一点B,点M是抛物线的顶点,直线AM与轴交于点D.    (1)求该抛物线的表达式;(2)若点H是x轴上一动点,分别连接MH,DH,求的最小值;(3)若点P是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.32.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1,平面直角坐标系中,抛物线过点,和,连接,点为抛物线上一动点,过点作轴交直线于点,交轴于点.  (1)直接写出抛物线和直线的解析式;(2)如图2,连接,当为等腰三角形时,求的值;(3)当点在运动过程中,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似(其中点与点相对应),若存在,直接写出点和点的坐标;若不存在,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 33.(2023·四川内江·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于,两点.与y轴交于点.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交于点K,过点P作y轴的平行线交x轴于点D,求与的最大值及此时点P的坐标;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得是以为一条直角边的直角三角形:若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 34.(2023·湖南·统考中考真题)已知二次函数.(1)若,且该二次函数的图像过点,求的值;(2)如图所示,在平面直角坐标系中,该二次函数的图像与轴交于点,且,点D在上且在第二象限内,点在轴正半轴上,连接,且线段交轴正半轴于点,.  ①求证:.②当点在线段上,且.的半径长为线段的长度的倍,若,求的值.35.(2023·山西·统考中考真题)如图,二次函数的图象与轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数图象交于点,与轴交于点C.  (1)求直线的函数表达式及点C的坐标;(2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点作直线轴于点,与直线交于点D,设点的横坐标为.①当时,求的值;学科网(北京)股份有限公司 ②当点在直线上方时,连接,过点作轴于点,与交于点,连接.设四边形的面积为,求关于的函数表达式,并求出S的最大值.36.(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线交轴于两点(在的左边),交轴于点.  (1)直接写出三点的坐标;(2)如图(1),作直线,分别交轴,线段,抛物线于三点,连接.若与相似,求的值;(3)如图(2),将抛物线平移得到抛物线,其顶点为原点.直线与抛物线交于两点,过的中点作直线(异于直线)交抛物线于两点,直线与直线交于点.问点是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 37.(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图,已知.点E位于第二象限且在直线上,,,连接.  (1)直接判断的形状:是_________三角形;(2)求证:;(3)直线EA交x轴于点.将经过B,C两点的抛物线向左平移2个单位,得到抛物线.①若直线与抛物线有唯一交点,求t的值;②若抛物线的顶点P在直线上,求t的值;③将抛物线再向下平移,个单位,得到抛物线.若点D在抛物线上,求点D的坐标.38.(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知抛物线与轴相交于点,,与轴相交于点.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点是抛物线的对称轴上的一个动点,当的周长最小时,求的值;学科网(北京)股份有限公司 (3)如图2,取线段的中点,在抛物线上是否存在点,使?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.39.(2023·湖北黄冈·统考中考真题)已知抛物线与x轴交于两点,与y轴交于点,点P为第一象限抛物线上的点,连接.       (1)直接写出结果;_____,_____,点A的坐标为_____,______;(2)如图1,当时,求点P的坐标;(3)如图2,点D在y轴负半轴上,,点Q为抛物线上一点,,点E,F分别为的边上的动点,,记的最小值为m.①求m的值;②设的面积为S,若,请直接写出k的取值范围.学科网(北京)股份有限公司 40.(2023·湖南·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,且与直线交于两点(点在点的右侧),点为直线上的一动点,设点的横坐标为.  (1)求抛物线的解析式.(2)过点作轴的垂线,与拋物线交于点.若,求面积的最大值.(3)抛物线与轴交于点,点为平面直角坐标系上一点,若以为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点的坐标.41.(2023·四川·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与x轴交于点,,与轴交于点.  (1)求抛物线的解析式;(2)已知为抛物线上一点,为抛物线对称轴上一点,以,,为顶点的三角形是等腰直角三角形,且,求出点的坐标;学科网(北京)股份有限公司 (3)如图,为第一象限内抛物线上一点,连接交轴于点,连接并延长交轴于点,在点运动过程中,是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.42.(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①,抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;(3)如图②,当点从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作,交AC于点E,作,垂足为点D.当m为何值时,面积最大,并求出最大值.43.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知:关于的函数.  (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点,且,则的值是___________;(2)如图,若函数的图象为抛物线,与轴有两个公共点,,并与动直线交于点,连接,,,,其中交轴于点,交于点.设的面积为,的面积为.学科网(北京)股份有限公司 ①当点为抛物线顶点时,求的面积;②探究直线在运动过程中,是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.44.(2023·福建·统考中考真题)已知抛物线交轴于两点,为抛物线的顶点,为抛物线上不与重合的相异两点,记中点为,直线的交点为.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若,且,求证:三点共线;(3)小明研究发现:无论在抛物线上如何运动,只要三点共线,中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,不必说明理由.45.(2023·山东·统考中考真题)如图,直线交轴于点,交轴于点,对称轴为的抛物线经过两点,交轴负半轴于点.为抛物线上一动点,点的横坐标为,过点作轴的平行线交抛物线于另一点,作轴的垂线,垂足为,直线交轴于点.  (1)求抛物线的解析式;(2)若,当为何值时,四边形是平行四边形?(3)若,设直线交直线于点,是否存在这样的值,使?若存在,求出此时的值;若不存在,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 46.(2023·山东·统考中考真题)已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点,其对称轴为.  (1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D是线段上的一动点,连接,将沿直线翻折,得到,当点恰好落在抛物线的对称轴上时,求点D的坐标;(3)如图2,动点P在直线上方的抛物线上,过点P作直线的垂线,分别交直线,线段于点E,F,过点F作轴,垂足为G,求的最大值.47.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有两点,其中点的横坐标为,点的横坐标为,抛物线过点.过作轴交抛物线另一点为点.以长为边向上构造矩形.学科网(北京)股份有限公司   (1)求抛物线的解析式;(2)将矩形向左平移个单位,向下平移个单位得到矩形,点的对应点落在抛物线上.①求关于的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;②直线交抛物线于点,交抛物线于点.当点为线段的中点时,求的值;③抛物线与边分别相交于点,点在抛物线的对称轴同侧,当时,求点的坐标.48.(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点,与y轴交于点.点D为线段上的一动点.学科网(北京)股份有限公司   (1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求周长的最小值;(3)如图2,过动点D作交抛物线第一象限部分于点P,连接,记与的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.49.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图,抛物线的图象经过,,三点,且一次函数的图象经过点.  (1)求抛物线和一次函数的解析式.(2)点,为平面内两点,若以、、、为顶点的四边形是正方形,且点在点的左侧.这样的,两点是否存在?如果存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标:如果不存在,请说明理由.(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线,此抛物线的图象与轴交于,两点(点在点左侧).点是抛物线上的一个动点且在直线下方.已知点的横坐标为学科网(北京)股份有限公司 .过点作于点.求为何值时,有最大值,最大值是多少?50.(2023·四川南充·统考中考真题)如图1,抛物线()与轴交于,两点,与轴交于点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,点Q在x轴上,以B,C,P,Q为顶点的四边形为平行四边形,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D,对称轴与x轴交于点E,过点的直线(直线除外)与抛物线交于G,H两点,直线,分别交x轴于点M,N.试探究学科网(北京)股份有限公司 是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.51.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,抛物线与x轴交于点、,且经过点.  (1)求抛物线的表达式;(2)在x轴上方的抛物线上任取一点N,射线、分别与抛物线的对称轴交于点P、Q,点Q关于x轴的对称点为,求的面积;(3)点M是y轴上一动点,当最大时,求M的坐标.52.(2023·四川广安·统考中考真题)如图,二次函数的图象交轴于点,交轴于点,点的坐标为,对称轴是直线,点是轴上一动点,轴,交直线于点,交抛物线于点.  (1)求这个二次函数的解析式.(2)若点在线段上运动(点与点、点不重合),求四边形面积的最大值,并求出此时点的坐标.(3)若点在轴上运动,则在轴上是否存在点,使以、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.53.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为学科网(北京)股份有限公司 .直线过点,且平行于轴,与抛物线交于两点(在的右侧).将抛物线沿直线翻折得到抛物线,抛物线交轴于点,顶点为.        (1)当时,求点的坐标;(2)连接,若为直角三角形,求此时所对应的函数表达式;(3)在(2)的条件下,若的面积为两点分别在边上运动,且,以为一边作正方形,连接,写出长度的最小值,并简要说明理由.54.(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方面,具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.同学们,请你结合所学的数学解决下列问题.在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数(实数为常数)的图象为图象.(1)求证:无论取什么实数,图象与轴总有公共点;(2)是否存在整数,使图象与轴的公共点中有整点?若存在,求所有整数的值;若不存在,请说明理由.55.(2023·湖南怀化·统考中考真题)如图一所示,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.学科网(北京)股份有限公司   (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点为第三象限内抛物线上一点,作直线,连接、,求面积的最大值及此时点的坐标;(3)设直线交抛物线于点、,求证:无论为何值,平行于轴的直线上总存在一点,使得为直角.56.(2023·湖南·统考中考真题)如图,已知抛物线与x轴交于点和点B,与y轴交于点C,连接,过B、C两点作直线.  (1)求a的值.(2)将直线向下平移个单位长度,交抛物线于、两点.在直线上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线的距离最大,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P,使,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.学科网(北京)股份有限公司 57.(2023·天津·统考中考真题)已知抛物线,为常数,的顶点为,与轴相交于,两点点在点的左侧,与轴相交于点,抛物线上的点的横坐标为,且,过点作,垂足为.(1)若.①求点和点的坐标;②当时,求点的坐标;(2)若点的坐标为,且,当时,求点的坐标.58.(2023·湖北十堰·统考中考真题)已知抛物线过点和点,与轴交于点.  (1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接,点在线段上(与点不重合),点是的中点,连接,过点作交于点,连接,当面积是面积的3倍时,求点的坐标;(3)如图2,点是抛物线上对称轴右侧的点,是轴正半轴上的动点,若线段上存在点(与点不重合),使得,求的取值范围.59.(2023·吉林长春·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点为坐标原点,抛物线(学科网(北京)股份有限公司 是常数)经过点.点的坐标为,点在该抛物线上,横坐标为.其中.  (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;(2)当点在轴上时,求点的坐标;(3)该抛物线与轴的左交点为,当抛物线在点和点之间的部分(包括、两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为时,求的值.(4)当点在轴上方时,过点作轴于点,连结、.若四边形的边和抛物线有两个交点(不包括四边形的顶点),设这两个交点分别为点、点,线段的中点为.当以点、、、(或以点、、、)为顶点的四边形的面积是四边形面积的一半时,直接写出所有满足条件的的值.60.(2023·湖北·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于点,与轴交于点,顶点为,连接.  (1)抛物线的解析式为__________________;(直接写出结果)(2)在图1中,连接并延长交的延长线于点,求的度数;(3)如图2,若动直线与抛物线交于两点(直线与不重合),连接,直线与学科网(北京)股份有限公司 交于点.当时,点的横坐标是否为定值,请说明理由.61.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与探究如图,抛物线上的点A,C坐标分别为,,抛物线与x轴负半轴交于点B,点M为y轴负半轴上一点,且,连接,.  (1)求点M的坐标及抛物线的解析式;(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接,,当时,求点P的坐标;(3)点D是线段(包含点B,C)上的动点,过点D作x轴的垂线,交抛物线于点Q,交直线于点N,若以点Q,N,C为顶点的三角形与相似,请直接写出点Q的坐标;(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线,点A的对应点为点,点C的对应点为点,在抛物线平移过程中,当的值最小时,新抛物线的顶点坐标为______,的最小值为______.62.(2023·湖北鄂州·统考中考真题)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现:如图1所示,该类型图象上任意一点P到定点的距离,始终等于它到定直线l:学科网(北京)股份有限公司 的距离(该结论不需要证明).他们称:定点F为图象的焦点,定直线l为图象的准线,叫做抛物线的准线方程.准线l与y轴的交点为H.其中原点O为的中点,.例如,抛物线,其焦点坐标为,准线方程为l:,其中,.  【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的方程:___________,___________;【技能训练】(2)如图2,已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍,求点P的坐标;【能力提升】(3)如图3,已知抛物线的焦点为F,准线方程为l.直线m:交y轴于点C,抛物线上动点P到x轴的距离为,到直线m的距离为,请直接写出的最小值;【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现:若将抛物线平移至.抛物线内有一定点,直线l过点且与x轴平行.当动点P在该抛物线上运动时,点P到直线l的距离始终等于点P到点F的距离(该结论不需要证明).例如:抛物线上的动点P到点的距离等于点P到直线l:的距离.请阅读上面的材料,探究下题:(4)如图4,点是第二象限内一定点,点P是抛物线上一动点,当取最小值时,请求出的面积.学科网(北京)股份有限公司

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所属: 初中 - 数学
发布时间:2023-08-07 23:54:02 页数:36
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文章作者:xmxhq

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