第15章轴对称图形和等腰三角形15.4角的平分线第2课时角平分线的性质及判定教案（沪科版八上）

15.4角的平分线第2课时角平分线的性质及判定教学目标【知识与能力】1.熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；2.掌握角平分线的性质和判定；3.综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题。【过程与方法】1.注意设置情境，让学生在情境中感受角平分线的性质定理和判定定理。2.在证明定理时注意分析思路，引导学生去思考。【情感态度价值观】经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。教学重难点【教学重点】角平分线的性质定理及判定定理。【教学难点】角平分线的性质定理及判定定理的证明与运用。课前准备课件、教具等。教学过程一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】利用角平分线的性质求线段的长度例1如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________． 解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长＝AB.故答案为7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．【类型二】角平分线的性质和三角形面积的综合例2如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)A．6B．5C．4D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】利用角平分线的性质证明线段相等例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CFD≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中，∵∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．探究点二：角平分线的判定【类型一】判断点是否在角平分线上 例4如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个解析：利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D.方法总结：此题主要考查角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．解答时，可分别处理，逐个验证．【类型二】角平分线的判定例5如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．探究点三：三角形角平分线的应用例6已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出直线l1，l2，l3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处；(2)能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．三、板书设计教学反思角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．