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山西省阳泉市2022-2023学年高二数学上学期期末试题(Word版附解析)

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2022~2023学年度第一学期期末考试试题高二数学第Ⅰ卷(32分)一、单项选择题:(本大题8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知数列满足,,则()A.5B.7C.10D.15【答案】B【解析】【分析】由递推关系求解即可.【详解】解:因为,所以,.故选:B2.如图,在三棱柱中,E,F分别是BC,的中点,,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.【详解】 ,故选:D.3.函数的单调递增区间为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先对函数求导,然后令导函数大于0解出不等式,并结合函数的定义域,即可得到本题答案.【详解】因,所以,令,得或,又函数的定义域为,所以函数的单调递增区间为,故选:C4.若两条直线与平行,则与间的距离是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据平行关系求解,进而根据平行线间距离公式即可求解.【详解】由与平行,可得,当时,两直线不重合,故,进而与间的距离为,故选:B5.圆内有一点,AB为过点且倾斜角为的弦,则AB的长为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得直线的方程,然后利用弦长公式求得.【详解】直线AB的斜率为,又直线AB过点, 所以直线AB的方程为:,即,圆的圆心为,半径,圆心到直线AB:的距离为,则.故选:A.6.已知函数的导函数图象如下图所示,则原函数的图象是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性与导数的关系以及导数的变化可得结果.【详解】由图可知,当时,,则函数在上为增函数,当时,单调递增,故函数在上的增长速度越来越快,当时,单调递减,故函数在上的增长速度越来越慢.B选项中的图象满足题意.故选:B.7.1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》,在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔 子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”,具体数列为:1,1,2,3,5,8,13,…,即从该数列的第三项开始,每个数字都等于前两个相邻数字之和.已知数列为斐波那契数列,其前n项和为,且满足,则当时,的值为()A.1B.2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用递推公式,得到【详解】,故选:A8.过抛物线:的焦点作两条互相垂直的弦,,设为抛物线上的一动点,,若,则的最小值是()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】显然直线的斜率存在且不为0,设直线的斜率为,则直线的方程为,与抛物线方程联立结合韦达定理可得:,因为,所以直线的斜率为:,所以,由,解得,设点到准线的距离为,由抛物线的性质可知:,而当垂直于轴时,的值最小,最小值为.【详解】解:显然直线的斜率存在且不为0,设直线的斜率为,则直线的方程为, 联立方程,消去得:,设,,,,,,由抛物线的性质可知:,,直线的斜率为:,,,,,抛物线方程为:,准线方程为:,设点到准线的距离为,由抛物线的性质可知:,而当垂直于轴时,的值最小,最小值为,如图所示:的最小值为3,故选:B.二、多项选择题:(本大题2小题,每小题4分,共8分. 在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的,全部选对得4分,有选错的得0分,部分选对得2分)9.如图,在长方体中,,,,以直线,,分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则()A.点的坐标为,5,B.点关于点对称的点为,8,C.点关于直线对称的点为,5,D.点关于平面对称的点为,5,【答案】ACD【解析】【分析】对A,根据图示分析即可;对B,设点关于点对称的点为,再根据为的中点列式求解即可;对C,根据四边形为正方形判断即可;对D,根据平面求解即可【详解】对A,由图可得,的坐标为,5,,故A正确;对B,由图,,,设点关于点对称的点为则,解得,故,故B错误;对C,在长方体中,所以四边形为正方形,与垂直且平分,即点关于直线对称的点为,选项C正确;对D,因为平面,故点关于平面对称的点为,即,选项D正确; 故选:ACD.10.若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立,则称直线为和的“隔离直线”,已知函数,,,下列命题正确的是()A.与有“隔离直线”B.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围为C.和之间存在“隔离直线”,且的取值范围是D.和之间存在唯一的“隔离直线”【答案】ABD【解析】【分析】对于A,取直线,讨论与的符号判断A;对于B,C,令隔离直线为,利用二次不等式恒成立计算判断B,C;对于D,函数与有公共点,求出在点处的切线,再证明此切线与图象关系作答.【详解】对于A,取直线,当时,,即成立,当时,令,,则在递减,在上递增,,,即成立,直线是与的“隔离直线”,A正确;对于B,C,令和的“隔离直线”为,则,,则,有,,有,当时,不等式成立,当时,的对称轴,而时,,则,即,显然满足此不等式,有,而,解得,同理,, B正确,C不正确;对于D,因,即和的图象有公共点,若和有隔离直线,则该直线必过点,设过点的直线方程为,即,由,,即恒成立,则,解得,即这条直线为,令,求导得:,当时,,当时,,即在上递减,在上递增,,即,,和之间存在唯一的“隔离直线”,D正确.故选:ABD【点睛】思路点睛:涉及函数不等式恒成立问题,可以探讨函数的最值,借助函数最值转化解决问题.第Ⅱ卷(68分)三、填空题:(本大题共四小题,每小题4分,共16分)11.已知函数图象在点处的切线方程是,则______.【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义可得的值,将点的坐标代入切线方程可得,即可得解.【详解】由导数的几何意义可得,将点的坐标代入切线方程可得,因此,.故答案为:.12.已知数列的前n项和公式为,则的通项公式为______. 【答案】【解析】【分析】由题意,根据数列的通项与前n项和之间的关系,即可求得数列的通项公式.【详解】由题意,可知当时,;当时,.又因为不满足,所以.故答案为:13.设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,,则C的离心率为________.【答案】【解析】【分析】设,根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半以及勾股定理,得出、、,根据椭圆的定义以及离心率公式求解即可.【详解】在中,设,因为,所以,.故.故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及离心率的求法,属于基础题.14.当时,函数有两个极值点,则实数m的取值范围___________.【答案】【解析】 【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根,等价于与有两个不同的交点,构造函数,即可求出结果.【详解】有两个极值点,所以有两个不同的实数根,即有两个不同的实数根,等价于与有两个不同的交点,设,当单调递减,当单调递增,所以当;所以与要有两个不同的交点,只需故答案为:【点睛】方法点睛:含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题,数形结合,是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想,属于一般题目.四、解答题:(本大题共5小题,共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、演算过程)15.已知圆C经过,两点,且圆心C在直线上.(1)求经过点A,并且在两坐标轴上截距相等的直线方程;(2)求过点B的圆C的切线方程.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)分别讨论直线过原点和不过原点两种情况,设出直线方程,代入点坐标,求解即可. (2)设圆心坐标,借助于,解出C点坐标,利用直线和切线垂直求切线的斜率,进而写出切线方程.【小问1详解】经过点A,在两坐标轴上的截距相等的直线,当直线过原点时,设直线的方程为,代入点得,,即,即直线的方程为,当直线不过原点时,设直线的方程为,将点代入解得,即直线的方程为∴所求直线的方程为或;【小问2详解】因圆心C在直线上,则设圆心,又圆C经过,两点,于是得圆C的半径,即有,解得,圆心,∴,∴,∴切线l的方程为:,即.16.已知等比数列的前n项和为,且是与2的等差中项,等差数列中,,点在一次函数的图象上.(1)求数列,的通项和;(2)设,求数列的前n项和.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)结合已知条件,利用与之间的关系求的通项公式;将代入中可得到公差,然后利用等差数列的通项公式即可求解;(2)利用错位相减法即可求解.【小问1详解】因为是与2的等差中项, 所以,即,则,当时,,从而,则等比数列的公比,故;因为,点在一次函数的图象上,所以,即等差数列的公差为2,从而.【小问2详解】由,得:...①...②①-②得,,从而.17.如图,在四棱锥中,PC⊥底面ABCD,ABCD是直角梯形,AD⊥DC,ABDC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.(1)证明:平面EAC⊥平面PBC; (2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直,再由面面垂直的判定定理求证即可;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.【小问1详解】∵平面,平面,∴.∵,由,且是直角梯形,∴,即,∴∵,平面,平面,∴平面.∵平面,∴平面平面【小问2详解】∵平面,平面,∴.由(1)知.∵,平面,平面,所以平面,∴即为直线与平面所成角.∴,∴,则 取的中点G,连接,以点C为坐标原点,分别以、、为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,∴,,设为平面的法向量,则,令,得,,得设为平面的法向量,则,令,则,,得.∴.由图知所求二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.18.已知是椭圆的左焦点,上顶点B的坐标是,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)O为坐标原点,直线l过点且与椭圆相交于P,Q两点,过点作,与直线相交于点E,连接OE,与线段PQ相交于点M,求证:点M为线段PQ的中点.【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】【分析】(1)根据已知条件求得,从而求得椭圆的标准方程.(2)设出直线的方程,求得直线的方程、直线的方程,求得点坐标,联立直线的方程与椭圆方程,化简写出根与系数关系,求得中点坐标,进而判断出是的中点.【小问1详解】因椭圆的上顶点,则,令椭圆半焦距为c,由离心率得,即,解得,∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】由(1)知,,,显然直线l不垂直于y轴,设直线,显然,直线l不垂直于y轴,因直线过点,且,则直线的方程可设为,由得点,直线OE的方程为:,由解得:,因此点,由消去x并整理得:,设,,则,所以,,即线段PQ中点坐标为,∴点M为线段PQ的中点.19.已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为,求的值;(2)若的导函数存在两个不相等的零点,求实数的取值范围;(3)当时,是否存在整数,使得关于的不等式恒成立?若存在,求出 的最大值;若不存在,说明理由.【答案】(1);(2);(3)存在,最大值为.【解析】【分析】(1)求出函数的导数,由题意得出从而可求出实数的值;(2)令,可得知函数在上有两个零点,分和两种情况讨论,利用导数分析函数在区间上的单调性和极值,由题意转化为函数极值相关的不等式,解出即可得出实数的取值范围;(3)将代入函数的解析式得出,对该函数求导得出,构造函数,利用单调性结合零点存在定理找出函数的极小值点,并满足,结合此关系式计算得出,从而可得出整数的最大值.【详解】(1),因为曲线在点处的切线方程为,所以,得;(2)因为存在两个不相等的零点.所以存在两个不相等的零点,则.①当时,,所以单调递增,至多有一个零点②当时,因为当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以时,因为存在两个零点,所以,解得.因为,所以.因为,所以在上存在一个零点. 因为,所以.因,设,则,因为,所以单调递减,所以,所以,所以在上存在一个零点.综上可知,实数的取值范围为;(3)当时,,,设,则.所以单调递增,且,,所以存在使得,因为当时,,即,所以单调递减;当时,,即,所以单调递增,所以时,取得极小值,也是最小值,此时,因为,所以,因为,且为整数,所以,即的最大值为.【点睛】本题考查利用切线方程求参数、利用导数研究函数的零点,同时也考考查了利用导数研究不等式恒成立问题,涉及隐零点法的应用,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-08-06 01:06:02 页数:18
价格:¥2 大小:1.70 MB
文章作者:随遇而安

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