山西省阳泉市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

阳泉市2022~2023学年度高一年级第二学期期末教学质量监测试题数学（必修第二册）注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置．3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．5．考试时间60．分钟，满分100分．第Ⅰ卷（40分）一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数是纯虚数，则实数的值为（）A.0B.2C.3D.0或2【答案】B【解析】【分析】根据复数的概念列方程求解即可得实数的值.【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得.故选：B.2.柜子里有三双不同的鞋，从中任取两只，取出的鞋都是一只脚的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，利用列举法可得从中任取两只的情况和取出的鞋都是一只脚的情况，再根据古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】设三双不同的鞋分别为，，，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋，从中任取两只有，，，，，，，，，，，，，，共15种，其中取出的鞋都是一只脚的有，，，，，共6种，所以取出的鞋都是一只脚的概率是.故选：C.3.对于两个不共线的向量和，下列命题中正确的是（）A.B.C.若和同向，且，则D.若，则向量平分和的夹角【答案】D【解析】【分析】A选项，根据向量数量积运算法则得到；B选项，可举出反例；C选项，根据向量概念得到C错误；D选项，根据平面向量的加法法则得到答案.【详解】A选项，和是不共线的两个向量，故和均不是零向量，且和，又，所以，故A错误；B选项，不妨设是互相垂直的两个单位向量，则，B错误；C选项，两个向量不能比较大小，C错误；D选项，由向量加法法则可知是以为邻边的平行四边形的对角线，如图，若，则平行四边形变为菱形，故向量平分和的夹角，D正确. 故选：D4.菱形中，，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的几何性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为菱形中，，若，所以为等边三角形，且，因为，所以.故选：B.5.关于事件的相互独立性，下列命题不正确的是（）A.若三个事件两两相互独立，则B.若事件和相互独立，则和也相互独立C.一个必然事件和任意一个事件都相互独立D.若，则事件相互独立与互斥不能同时成立【答案】A【解析】【分析】利用事件的独立性质和互斥，即可逐个选项判断. 【详解】若三个事件两两相互独立，则，，，推不出，A错误；若事件和相互独立，则，又，则，B正确；一个必然事件发生的概率为，设任意一个事件发生的概率为，则，C正确；若，事件相互独立，则，若互斥，则，故D正确.故选：A6.已知复数，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围. 详解】复数，且，所以，则因为，所以，当时，，当时，所以的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．7.下列命题不正确的是（）A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体B.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥C.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥D.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行【答案】ACD【解析】【分析】举出反例可判断AC，根据四棱锥的定义可判断B；根据线面的位置关系可得D.【详解】对于A，长方体是四棱柱，但当直四棱柱的底面为菱形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故B正确；对于C，如图所示的几何体，所有面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，故C错误；对于D，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条可能与这个平面平行，也可能在这个平面内，故D错误.故选：ACD.8.如图，在正方体中，下列命题正确的是（） A.平面B.平面平面C.平面D.与平面所成的角是【答案】BCD【解析】【分析】由与不垂直可判断A；可证平面可判断B；证，可判断C；作出与平面所成的角，计算可判断D.【详解】在正方体中，与不垂直，平面，所以不可能与平面垂直，故A错误；因为在正方体中，，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；因为在正方体中，，，平面，，所以平面，又平面，所以，同理可证平面，平面，所以，平面，，所以平面，故C正确；设，连接，由B选项可知平面，所以即为与平面所成的角，因为平面，所以， 设正方体的棱长为1，则在中，，所以，又为锐角，所以，即与平面所成的角是，故D正确.故选：BCD第Ⅱ卷（60分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.已知向量，与共线，则___________．【答案】【解析】【分析】利用向量共线的坐标运算求解即可.【详解】由题知，，因为与共线，所以，解得.故答案为：10.一家水果店的店长为了解本店水果的日销售情况，记录了过去30天苹果的日销售量（单位：），结果如下：83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，75，99，117，89，74，94，84，85，101，87，93，85，107，99，55，97，86，84，85，104． 一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求．店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需求（在100天中，大约有80天可以满足顾客的需求），则每天应该进___________千克的苹果．【答案】99.5【解析】【分析】利用百分位数的定义进行求解.【详解】过去30天苹果的日销售量按从低到高排列：55，70，74，75，75，80，80，83，84，84，85，85，85，86，87，89，91，93，94，94，96，97，99，99，100，101，104，107，107，117，故第80百分位数：故答案为：99.511.如图，圆锥的底面直径和高均是1，过的中点做平行与底面的截面，再挖掉一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积是___________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥与圆柱的表面积即可确定该几何体的表面积.【详解】由题可知，，，，圆锥的底面半径，圆柱的底面半径圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积，圆柱的侧面积， 所以剩下几何体的表面积是.故答案为：.12.如图，直线与的边分别相交于点，设，是方向的单位向量．请你利用所学向量知识，补充完整以下与的边和角之间的关系式：___________．【答案】【解析】【分析】由得，根据数量积的定义代入运算整理即可得答案.【详解】因为，所以，即，又因，，，所以，即故答案为：四、解答题：本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．13.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，对人群的心血管安全构成威胁．国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度是否健康．某社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民的体检数据，得到相应的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的中位数；（2）现利用分层抽样的方法，从样本两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．【答案】（1），23（2）【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图意义求出，可得满足频率恰为0.5的位置；（2）求出按照分层抽样在、抽取的人数，利用列举法和古典概型概率计算公式可得答案．【小问1详解】依据频率分布直方图意义，得，即，∴,∵的频率之和为0.2，而的频率为0.4，∴满足频率恰为0.5的位置为；【小问2详解】由频率直方图知的频数为16，的频数为32，按照分层抽样抽取6人，则在抽取2人，编号为1，2．在抽取4人，编号为3，4，5，6．从6人随机抽取2人，样本空间为：，设事件“从6人抽取2人的数值不在同一组”，则故，∴两人的值不在同一组的概率为． 14.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）已知，的面积为6，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变形，求角的值；（2）首先根据面积公式求，再根据余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【小问1详解】即，则,且，则；，【小问2详解】，所以，根据余弦定理可知，,即，根据正弦定理，，即，解得：.15.如图，平面与平面交于平面，EF∥平面，四边形为正方形，且． （1）求证：∥平面；（2）求证：平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）如图，设与交于点，则为正方形的中心，连接，不妨令，则，再由线面平行的性质可证得∥，则可得四边形为平行四边形，得∥，再由线面平行的判定可证得结论；（2）连接，可得四边形为菱形，则，而四边形为正方形，所以，再由已知线面垂直可得，所以由线面垂直的判定可得平面，则，再由线面垂直的判定可得结论.【小问1详解】如图，设与交于点，则为正方形的中心，连接，不妨令，则．∵四边形正方形，∴．∵∥平面，平面平面面，∴∥，∴∥，即四边形为平行四边形，∴∥，又平面平面，∴∥平面．小问2详解】连接，∵∥，， ∴四边形为菱形．∴．又四边形为正方形，∴．∵平面平面，∴．而，且平面平面，∴平面，∵平面，∴．又平面，∴平面．