山西省忻州市2022-2023学年高一数学下学期开学考试试题（Word版附解析）

高一数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的解法求解集合A、B，再根据集合的交集运算求解.【详解】由题意可得：，则故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出的取值范围，根据充分条件、必要条件的定义即可做出选择.【详解】由题意可知，可得或； 而时，可得，所以“”“”；因此“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意作出示意图，并利用三角形函数定义即可求得点的坐标.【详解】根据题意可知，作出图示如下：根据题意可得，，作轴且垂足为；利用三角函数定义可得，；又点在第四象限，所以点的坐标为.故选：C4.函数的零点所在的一个区间是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由零点存在定理，结合的单调性找到合适的区间即可.【详解】在上单调递增，且，.则由零点存在定理得所求零点在区间.故选：B.5.把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.故选：A.6.已知，若恒成立，则的最大值为（）A.4B.5C.24D.25【答案】C【解析】【分析】由，利用基本不等式整理得，根据恒成立问题可得，运算求解即可得答案.【详解】∵，所以， ∴，当且仅当，即时等号成立，即，由题意可得：，又，解得，故的最大值为24.故选：C.7.设函数，则下列函数为奇函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将函数分离常数化简，利用函数图象的平移变换并根据反比例函数的奇偶性即可得出结果.【详解】由可得，根据函数图象平移变换可知是由函数向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到的，而即为奇函数；所以只需将反向平移，即向右平移2个单位得到，再向上平移1个单位得到，即为奇函数.故选：A8.已知．设，则（） A.B.CD.【答案】C【解析】【分析】先根据指对数的互化结合指数函数的单调性可判断的大小关系，再利用对数的运算即可判断.【详解】由可得：，由可得：，所以，，由可得：，解得：，因为，所以，又因为，所以，故选：.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数的图象过点，则（）A.是偶函数B.是奇函数C.在上为减函数D.在上为减函数【答案】AD【解析】【分析】利用幂函数定义即过点可得，再根据函数奇偶性定义即可判断是偶函数，由幂函数单调性即可判断D正确.详解】根据幂函数定义可得，解得；又因为图象过点，所以可得，即；易知函数的定义域为，且满足，所以是偶函数，故A正确，B错误； 由幂函数性质可得，当时，为单调递减，再根据偶函数性质可得在上为增函数；故C错误，D正确.故选：AD10.下列计算正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式以及两角和的正切公式即可判断选项ABC，根据同角三角函数之间的基本关系将切化弦即可计算出选项D的结果.【详解】根据二倍角的余弦公式可得，即A正确；由可得，所以B错误；因为，所以，即，所以C正确；由于，所以D错误；故选：AC11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（） A.B.图象的对称中心为C.直线是图象的一条对称轴D.的图象与的图象有3个交点【答案】ABD【解析】【分析】根据图像求出函数的解析式，然后逐项进行验证即可求解.【详解】由图可知：，所以，又因为，所以，也即，因为，所以，则，又因为，所以，则，故选项正确；令则，所以函数图象的对称中心为，故选项正确；令则，所以函数图象的对称轴为，所以直线不是图象的一条对称轴，故选项错误；在同一坐标系内作出函数与的图象，根据函数的图像可知：点，，,，因为当时，，所以函数的图象与的图象在附近 有两个交点，又，所以函数的图象与的图象在附近没有交点，结合图象可知：函数的图象与的图象有3个交点，故选项正确，故选：.12.设都是定义域为的单调函数，且对于任意，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据函数性质以及题目所给条件等式可知，利用待定系数法分别求得的解析式，代入即可求得函数值并比较大小得出结论.【详解】因为是上的单调函数，且对于任意，所以，其中为常数，即，；又因为，所以，可得，即，解得，所以；由可得，即；所以，，即，所以A错误，B正确；由可知，恒成立；即C正确； 由函数的值域为可知，不一定成立，故D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：本题题眼在于利用在上单调且可求得（其中为常数），结合其他条件即可求得的解析式.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.设函数，若，则__________．【答案】【解析】【分析】对的取值范围进行分类讨论，分别代入计算即可得出符合题意的取值.【详解】由题意可得，当时，，此时方程无解；当时，，解得或（舍）故答案为：14.已知命题，若命题是假命题，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据题意可得：，恒成立，分离变量利用基本不等式即可求解.【详解】因为命题为假命题，则命题：，为真命题，所以在上恒成立，因为当且仅当，也即时取等号，所以，故答案为：.15.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案､彝族漆器图案､彝族银器图案等．其中蕴含着丰富的数学文化，如图1，漆器图案中出现的“阿基米德 螺线”是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象后得到图2，若，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】根据图示可得，利用二倍角公式和诱导公式即可计算的出结果.【详解】根据图2可知，动点将圆周九等分，所以，所以；则将代入可得，即.故答案为：16.已知函数有唯一零点，则__________，的解集为__________．【答案】①.1②.【解析】【分析】根据函数特征可知将看成整体，即，再利用换元法根据函数奇偶性和单调性即可求得参数的值，进而解出不等式.【详解】令，则，所以为偶函数； 又函数有唯一零点，由对称性可知，解得；易知函数的图象关于对称，且在上单调递增，，则不等式即为，由对称性可得.故答案为：1，【点睛】关键点点睛：本题关键在于将看成是由和合成的函数，且两个函数都关于对称，再利用换元法判断出函数奇偶性和单调性即可求解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）求；（2）若，用表示．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算结合根式运算求解；（2）根据对数运算结合换底公式运算求解.【详解】（1）；（2）.18.已知．（1）求的值；（2）在中为锐角，且，求的值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由题意可知，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得；（2）根据（1）中的结论和平方关系即可求得角的正弦和余弦值，再根据两角和的余弦公式即可求出的值．【小问1详解】由可得，所以；所以；即可得【小问2详解】由于为锐角，且，由，解得；即；又因为，所以；此时，又因为，所以，则即19.已知函数的定义域为集合的值域为集合．（1）求集合；（2）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由对数函数定义域即可求得集合，利用基本不等式可得集合，再根据集合的运算法则可求得；（2）根据题意可知集合是集合的真子集，再对参数进行分类讨论即可得出结果.【小问1详解】由题意可知，解得且，所以；当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；所以，，即；【小问2详解】由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集；易知，则需满足或，解得或；所以的取值范围是.20.已知函数．（1）若的图象关于直线对称，，求的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当时，和是的两个零点，求的值和的取值范围．【答案】（1）（2）； 【解析】【分析】（1）由倍角公式、和差公式化简，由整体法根据对称轴求得，即可由整体法进一步求得单调递增区间；（2）由整体法确定的值，即可求值.由正弦型函数图象及性质列不等式可求得的取值范围.【小问1详解】，∵的图象关于直线对称，则，解得，∵，∴，则，由得.则的单调递增区间为；【小问2详解】∵，∴，∵和是的两个零点，∴，∴.令，在上恰有两个不同的解，∴.∴的取值范围为.21.若函数和的图象均连续不断．和均在任意的区间上不恒为的定义域为的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”．（1）写出和在上的一个区间”（无需证明）； （2）若是和的“区间”，求的取值范围．【答案】（1）（答案不唯一，是的子集即可）（2）【解析】【分析】（1）根据题意解不等式，分析即可得结果；（2）根据的单调性分析可得当时，，当时，，结合二次函数的性质列式运算求解.【小问1详解】令，解得，故当时，，当时，，当时，；令，解得，故当时，，当时，，当时，；若，解得，故的解集为，不妨取，则符合题意，故和在上的一个区间”为；【小问2详解】对，当时，则，可得，即，故，∴上单调递增，且，故当时，，当时，则，当时，，由题意可得：当时，，当时，， 注意到开口向上，由二次函数性质可得，由消去可得，解得，故的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1），等价于或或；（2）分步处理，先分析（或）的符号，再分析另一个函数的符号.22.已知函数．（1）若函数的值域为．求的取值范围；（2）已知函数在上单调递增，若是关于的方程的两个不同的解，证明：．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意分析可得的值域包含，分和两种情况，分析运算；（2）根据题意分析可得：若是关于的方程的两个不同的解，则（仅为必要条件），再根据零点可得，换元，结合的单调性分析运算.【小问1详解】由题意可知：若函数的值域为，则的值域包含，当时，则的值域为，符合题意； 当时，则，解得；综上所述：取值范围为.【小问2详解】若时，构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多只有一个零点，即方程至多只有一个根，不合题意，可得：若是关于的方程的两个不同的解，则（仅为必要条件），∵，整理可得，∴，不妨设，令，则，∵在上单调递增，则当时恒成立，∴，即，故当时恒成立，即，∴.【点睛】方法点睛：利用函数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数h(x)；（3）根据单调性及最值，得到所证不等式.