山西省朔州市怀仁市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

怀仁市2022~2023学年度下学期高二第二次教学质量调研测试数学命题：怀仁市教育局高级中学教研组（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（）A.相关系数r变小B.决定系数变小C.残差平方和变大D.解释变量x与预报变量y的相关性变强【答案】D【解析】【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好，对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错 误；对于B，决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误；对于C，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误；对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y相关性变强，且是正相关，故D正确．故选：D．2.已知等差数列的前n项和，若，则（）A.150B.160C.170D.180【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质计算出，再利用求和公式变形得到答案.【详解】因为为等差数列，所以，因为，所以，.故选：B3.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求解作答.【详解】随机变量服从正态分布，且，所以.故选：A4.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10 个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是（）A.P(X＝2)B.P(X≤2)C.P(X＝4)D.P(X≤4)【答案】C【解析】【分析】根据超几何分布列式求解即可．【详解】X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选：C.5.一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（）A.B.60C.120D.240【答案】B【解析】【分析】利用题意找出该组数据的上四分位数为，然后利用二项式展开式的公式找出常数项即可.【详解】因为，所以，所以展开式的通项为：，令得：，所以展开式的常数项为，故选：B．6.某校得到北京大学给的10个推荐名额现准备将这10个推荐名额分配给高三年级的6个班级(每班至少一个名额)，则高三（1）班恰好分到3个名额的概率为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用隔板法，结合古典概型即可得到结果.【详解】将10个名额分给6个班，每班至少一个名额，即从9个分段中选择5个段分开，共有种方法，若三（1）班恰好分到3个名额，则只需将剩下的7个名额分给5个班，共有方法，从而概率为.故选：B7.某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：x（月份）12345y（万盒）56568若x，y线性相关，线性回归方程为，则以下判断正确的是（）A.x增加1个单位长度，则y一定增加0.7个单位长度B.x减少1个单位长度，则y必减少0.7个单位长度C.当时，y的预测值为8.1万盒D.线性回归直线，经过点【答案】C【解析】【分析】首先求得平均数，代入求得回归直线方程，再对选项再对选项逐一判断，即可得出结果.【详解】，，代入线性回归方程中得，，故线性回归方程为， 对于A：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x增加1个单位长度，则y可能增加0.7个单位长度，A错误；对于B：回归直线方程是点分布在直线附近或在直线上，x减少1个单位长度，则y可能减少0.7个单位长度，B错误；对于C：当时，，故C正确；对于D：线性回归直线必经过点，故D错误.故选：C.8.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，由此构造函数，利用导数判断其单调性结合对数运算，即可得出答案.【详解】由题意可知，于构造函数，则，当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，而，又，故，故选：B【点睛】关键点睛：解答数的比较大小问题，关键是将数的形式转化为结构一致的形式，从而确定变量，可构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9.设随机变量的分布列如下表所示，则下列选项中正确的为（）0123A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据概率和为1，可求得m值，根据期望、方差公式，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】根据概率和为1，可得，解得.对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.故选：BD10.若，，则下列结论中正确的有（）A.B.C.D【答案】AD【解析】【分析】直接根据利用二项式定理将其展开，结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解.【详解】 对于,令则故正确；对于,，故错误；对于,令则则故错误；对于,令得又故正确.故选：11.2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生．则下列正确的是（）A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法B.6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法C.男班长必须到甲地，则共有180种分配方法D.班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法【答案】ACD【解析】【分析】根据分组分配的知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【详解】A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，个男生中选个到甲地，方法有种；在剩下的个男生中选个到乙地，方法有种；最后个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确.B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误.C选项，男班长必须到甲地，方法数有:种分配方法，C选项正确.D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有: 种分配方法，D选项正确.故选：ACD12.已知函数，函数，下列选项正确的是（）A.点是函数的零点；B.，，使C.若关于的方程有一个根，则实数的取值范围是D.函数的值域为【答案】BD【解析】【分析】由函数零点的定义可判断A不正确，根据函数的单调性，结合图像可判断B与D是否正确，根据函数的单调性与极值情况，结合图像可确定a的取值范围，可判断选项C．【详解】令，可得，是函数的零点，零点是实数0，不是点，A错误；因为，当时，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且的极小值为和，且，当时，，当时，，如图，作出函数的图像， 观察图像可知，，，使，所以B正确；函数的值域为，D正确；对于C，由，得，因为，则，令，得或或，当变化时，，的变化情况，如下表x012＋0－0＋－0＋递增递减0递增递减递增如图，当或或时，关于的方程有一个根，所以a的取值范围是，C不正确.故选：BD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为__________．【答案】【解析】【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可.【详解】这组数据共个数，中位数为则从小到大排列时，的前面有两个数，后面也有两个数，又唯一的众数为，则有两个其余数字均只出现一次,则最大数字为又极差为，所以最小数字为，所以这组数据为则平均数为故答案为：.14.函数在区间上有最大值，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围【详解】，，令解得；令，解得或，由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，故函数在处有极大值，在处有极小值，即，解得，故答案为： 15.现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，依题意，，两两互斥，其和为，并且，，，所以，，，应用全概率公式，有.故答案为：．16.若数列满足，则称此数列为“准等差数列”．现从这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等差数列"的概率是__________．【答案】【解析】【分析】先列举基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】和为5有2种组合，和为6有2种组合，和为7有3种组合，和为8有3种组合，和为9有4种组合，和为10有4种组合，和为11有5种组合，和为12有4种组合，和为13有4种组合，和为14有3种组合，和为15有3种组合，和为16有2种组合，和为17有2种组合，所以. 故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．（1）求与的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．【小问1详解】等差数列的前项和为，，，设公差为所以，解得所以正项等比数列中，，，设公比为所以，所以解得，或（舍去）所以【小问2详解】由（1）知：所以两式相减得： 18.2023年山东淄博成立了烧烤协会，发布烧烤地图，举办烧烤节庆活动．淄博烧烤是淄博饮食文化的重要组成部分．淄博烧烤保留有独立小炉纯炭有烟烧烤．五一前后举办了淄博烧烤节，集中展示烧烤名店、特色品种，辅以演出、啤酒展销等多种方式，为市民提供优质烧烤产品．打通“吃住行游购娱”各要素环节，推出一批“淄博烧烤+特色文旅”主题产品．烧烤协会为了解游客五月一日至3日的消费情况，对这期间的100位游客消费情况进行统计，得到如下人数分布表：消费金额（元）人数152025201010（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关，不少于600元少于600元合计男25女40合计（2）为吸引游客，该市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元．方案二：消费金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．若某游客计划消费600元，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由．附：参考公式和数据：，．附表：2.0722.7063.8416.635 0.1500.1000.0500.010【答案】（1）表格见解析，有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关（2）选择方案一，理由见解析【解析】【分析】（1）补充列联表后，计算出的值即可判定；（2）方案一优惠金额可直接计算，若采用方案二，可根据条件列出优惠金额的分布列，求出期望，通过比较大小即可选择.【小问1详解】列联表如下：不少于600元少于600元合计男252045女154055合计4060100，因此有的把握认为消费金额是否少于600元与性别有关．【小问2详解】按方案一：某游客可优惠120元．按方案二：设优惠金额为元，可能取值为0，100，150，200．，，，，所以的分布列为0100150200 ．所以选择方案一．19.在今山西怀仁县，故名．明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】（1）0.38（2）分布列见解析，0.9【解析】【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）根据题意结合二项分布求分布列和期望.【小问1详解】第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：．【小问2详解】经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：，，．所以，故随机变量的可能取值为0，1，2，3，且．故；；，所以随机变量的分布列为 0123故随机变量的数学期望．20.已知函数，.（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，进而写出切线方程；（2）讨论，，，，结合导数得出函数的单调性.【小问1详解】当时，，，，，∴切线方程为：，即.【小问2详解】因为，.所以.①当时，令，得，∴在上单调递减；令，得，∴在上单调递增.②当时，令，得.∴在上单调递减；令，得或.∴在和上单调递增.③当时，在时恒成立，∴在R单调递增.④当时，令，得.∴在上单调递减； 令，得或.∴在和上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在和上单调递增；当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在和上单调递增.【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于讨论根的大小，从而得出函数的单调性.21.某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．【答案】（1）（2）人（3）分布列见解析，均值为【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解； (2)由可知即可求解；(3)根据题意确定Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，利用独立性可求得分布列，进而求得均值.【小问1详解】样本平均数的估计值为．【小问2详解】因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，则，所以，所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．【小问3详解】Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，则，，，，，，故Y的分布列为：Y0510152025P 所以数学期望为．22.已知函数．（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求a的取值范围；（2）证明：当时，在上，恒成立．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数可得.构造，根据导函数得出在上图象，结合图象研究解的情况，进而结合图象得出的符号，即可得出答案；（2）构造函数，证明时，成立，进而根据的范围推得.构造函数，根据导函数得出，即可得出；在上，根据的范围推得.构造，根据导函数得出，即可得出.【小问1详解】由已知可得，，由可得，令，则，当时，有，所以，所以在上单调递减. 又，所以在上的值域为；当时，有，所以，所以在上单调递增.又，所以在上的值域为.作出函数在的图象如下图所示，由图象可知，当时，有两解，设为，且，.由图象可知，当时，有，即；当时，有，即；当时，有，即.所以，在处取得极大值，在处取得极小值.综上所述，的取值范围为.【小问2详解】 构造函数，，则，令，则在时恒成立，所以，，即在上单调递增，所以，所以，在上单调递增，所以，所以，当时，.因为，故在上，.令，则，令，，故，即为增函数，所以，所以为增函数，所以，即，即，所以，.又，所以，当时，有；在上，因为，，所以. 令，在上恒成立，所以，在上单调递增，所以，所以，当时，有，所以.又，所以.综上所述，在上，恒成立．【点睛】关键点睛：先证明在上，.在上，.然后只需证明在上成立，以及在上成立.通过构造函数，根据导函数分别证明即可.