山西省大同市2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

高一数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．考试范围国：必修第二册第六、七、八章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，，，则该三角形的面积（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的数量积公式得，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】因为在中，，，所以，则，故.故选：B.2.已知复数满足，且，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，再将代入化简可得，从而可求出的值. 【详解】因为复数满足，所以，由，，得，，所以，即，所以，因为，所以，故选：D3.已知平面向量，，满足，，且.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，根据向量垂直、数量积的坐标表示列方程求，最后用坐标公式求模即可.【详解】令，则，可得，所以.故选：A4.某种质地的沙子自然堆放在水平地面上，该沙堆呈底面水平的圆锥形，若要使沙堆上的沙子不滑落，则圆锥母线与底面的最大夹角为．现有一底面半径为，高为的沙堆，为了节省该沙堆的占地，用一底面半径为的无盖圆柱形容器自然盛放完这些沙子（沙子可以超出该容器的上底，且超出部分的形状呈圆锥形），则该容器的高至少为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据圆柱的体积和圆锥的体积公式即可求解.【详解】依题意，沙堆的体积是，设圆柱的高为，露出上部分的沙堆的高为，所以，整理得，又因为，所以，则.故选：B.5.在平行四边形中，分别是边上的点，，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以为基底向量表示，结合数量积运算律运算求解.【详解】以为基底向量，则，因为，即，解得.故选：C. 6.在菱形中，已知，将沿对角线折起，形成三棱锥，则三棱锥的表面积最大时，该三棱锥的体积为（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】沿对角线BD折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取BD的中点E，连接AE，EC，由ABCD是菱形，可知平面，结合三棱锥的体积公式即可求解;【详解】由题意可知，当且，则三棱锥的表面积最大时，取BD的中点E，连接AE，EC，平面，平面，，可知平面，因为，是菱形，是等边三角形，是等边三角形，所以.故选：A.7.已知方程（R）的四个根均为虚数，且以这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形面积为4，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算法则,复数相等的条件及其几何意义求解即可.【详解】由已知得或，当时，此方程的两个虚数根互为共轭复数，设，，其中R,将代入方程得，整理得，则，解得，即，同理可得，当时，该方程的虚数根为，由复数的几何意义可知，这四个根在复平面内对应的点为顶点的四边形为等腰梯形，则该等腰梯形的面积为，解得，故选：.8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对原式化简得，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值.【详解】，化简得，，当且仅当时等号成立， 故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知四边形为等腰梯形，为空间内的一条直线，且平面，下列说法正确的是（）A.若，则//平面B.若，则与为异面直线C.若，则平面D.若，则平面【答案】ABC【解析】【分析】对于A：根据线面平行的判定定理分析说明；对于B：根据异面直线的判定定理分析说明；对于C、D：根据线面垂直的判定定理分析说明.【详解】对于选项A：若，平面，平面，所以//平面，故A正确；对于选项B：由题意可设，因为//，设与确定的平面为，又因为平面，则平面，可得，且，则，即，所以与为异面直线，故B正确；对于选项C：若，且相交，平面，所以平面，故C正确；对于选项D：虽然，但，不满足线面垂直的判定定理，所以无法确定与平面是否垂直，故D错误；故选：ABC.10.在中，已知，则（）A.B.C.D. 【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用小角对小边判断即可；对于B，利用余弦定理，结合角的范围即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正切函数的和差公式即可判断.【详解】对于A，因为，所以，根据小角对小边得：，所以，故A正确；对于B，因为，所以，则，由余弦定理得，即，故B正确；对于C，当时，符合，但是，故C错误；对于D，因为，所以，则，所以，即，故D正确.故选：ABD.11.已知复数均为虚数，且，则（）A.B.C.为纯虚数D.存在某个实系数二次方程，它的两个根为【答案】BC【解析】【分析】利用复数的四则运算及复数的模公式，结合共轭复数的概念及复数的概念即可求解. 【详解】设，，，对于A，，故A错误；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，为纯虚数，故C正确；对于D，因为为虚数，为实数，所以实系数二次方程，要么，要么，不可能既有实数根，又有虚数根，故D错误.故选：BC.12.在中，，，，AD是三角形的中线．E，F分别是AB，AC边上的动点，，（x，），线段EF与AD相交于点G．已知的面积是的面积的2倍，则（）A.B.x＋y的取值范围为C.若，则的取值范围为D.的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形面积公式即可得到，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B，利用共线向量定理的推论即可判断C，利用转化法计算即可判断D. 【详解】对A，，，又因为，即，解得，故A正确，对B，因为，，则，解得，则，则，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的图象与性质可知当或1时，，则，故B错误，对C，因为，，所以，因为点三点共线，则存在，使得则有，则，，故C正确；对D，，，则 ，因为，则，则，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题较难的CD选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到，然后解出，从而得到其范围；对于D选项，则利用转化法来计算，最后得到，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数满足，则________．【答案】【解析】【分析】根据实数系方程解得，进而可求模长.【详解】因为，整理得，解得，所以.故答案为：.14.已知向量，，当取得最大值时，______．【答案】 【解析】【分析】先利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式，求得取得最大值时的值，从而求得，再利用向量模的运算公式即可得解.【详解】因为，，所以，当且仅当，即时取最大值，此时，所以，所以故答案为：.15.在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，，则b的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用正、余弦定理得，再利用正弦定理得，最后根据三角形为锐角三角形求出的范围即可得到答案.【详解】由余弦定理得，则，则根据正弦定理得，又因为，，即，化简得，因为是锐角三角形，则，则，则则，则， 则，解得，根据正弦定理有，，，故答案：.16.已知是半径为2的球面上的四点，且．二面角的大小为，则点形成的轨迹长度为________．【答案】【解析】【分析】根据题意求出外接球球心与面的距离，结合二面角的大小判断与面所成角大小，进而求出到外接圆圆心距离，即可确定轨迹长度.【详解】由题意，为等腰直角三角形，且外接圆半径，圆心为中点，又外接球半径，球心，则，易知：为等腰直角三角形，又二面角的大小为，由为外接圆直径，且面面，则与面所成角为，所以到外接圆圆心距离，故外接圆的半径为，注意：根据二面角大小及球体的对称性，如上图示，轨迹在大球冠对应外接圆优弧的一侧，在小球冠对应外接圆劣弧的一侧， 所以轨迹长度为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（10分）17.已知复数满足．（1）求；（2）若为纯虚数，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，代入化简，再利用复数相等的条件可求出，从而可求出复数，（2）由（1）知，代入化简，再由其为纯虚数可求出的值．【小问1详解】设，因为，所以，，，所以，得，所以【小问2详解】由（1）可知，所以， 所以因为纯虚数，所以且，解得.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，得，再根据正弦定理，边角互化，结合，即可求解；（2）根据条件，变形得，再结合余弦定理求，代入三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】因，所以，因为，所以，即，所以，且，，且， ，，所以.【小问2详解】因为，所以，即，因为，，，即，所以，由余弦定理得，所以，解得，所以19.在中，角所对的边分别为是内的一点，且．（1）若是的垂心，证明：；（2）若是的外心，求．【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）由垂心的概念及向量的数量积结合余弦定理化简即可；（2）根据外心的性质结合数量积计算得出，计算即可.【小问1详解】∵是的垂心，∴，即，，由余弦定理可得上式等价于， 化简得；【小问2详解】如图所示，取AB、AC中点分别为E、F，∵是的外心，∴，即，故,同理，，联立可得∵20.如图，在四棱台中，四边形和均为正方形，四边形为直角梯形，．（1）设平面平面，证明：∥平面（2）求该四棱台的体积．【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】 【分析】（1）利用条件先证BC∥面ADD1A1，从而得BC∥l，再证线面平行即可；（2）根据已知先证得为棱台高，结合棱台体积公式计算即可.【小问1详解】由题意可得BC∥AD，面ADD1A1，面ADD1A1，∴BC∥面ADD1A1，又平面，且平面平面，∴BC∥l，∵平面ABCD，面ABCD，∴∥平面；【小问2详解】如图所示，连接BD，交AC于O点，连接B1D1交A1C1于O1，连接OO1，在四棱台中易得，由得四边形为等腰梯形，∴,在正方形ABCD中，易知BD⊥AC，且，面，∴BD⊥面，又面，∴，∵面ABCD，∴面ABCD，设棱台上下底面积分别为，由条件可得，故其体积为：.21.在中，角所对的边分别为．（1）求的最大值；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式计算即可；（2）先由切化弦，结合正余弦定理将条件式化为与边的比值有关的函数，计算即可.【小问1详解】由余弦定理可得：，当且仅当，即时取得最小值，故，所以的最大值为；【小问2详解】，由正余弦定理可得，由题意可得，所以上式可化为，易知，即，故，所以22.如图，在矩形中，是线段上的一点．将沿翻折，使点到达的位置，且点不在平面内．（1）若面平面，证明：平面平面；（2）设为的中点，当二面角最大时，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）在平面内过作于，则由面面垂直的性质可得平面，所以，再由四边形为矩形，得，然后由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可证得结论；（2）取的中点，连接，则，延长至，使得，在平面中，过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，连接，可证为二面角的平面角，设，利用三角变换公式和解直角三角形可得，据此可得何时二面角最大，故可求对应的体积.【小问1详解】证明：在平面内过作于，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；【小问2详解】解：因为在矩形中，为的中点，所以为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形，取的中点，连接，则，因为，所以，所以， 延长至，使得，则为等腰直角三角形，故，故三点共线，故，因为平面，故平面，而平面，故平面平面.在平面中，过作的垂线，垂足为，过作，垂足为，连接，因为平面平面，故平面，而平面，故，而平面，故平面，而平面，故，故为二面角的平面角，设，则，，所以，所以，故，当且仅当时等号成立，此时，故当时，二面角的平面角最大，因为，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定定理与性质定理的应用，考查二面角，考查棱锥的体积的求法，第（2）问解题的关键构造二面角的平面角，利用基本不等式判断何时二面角最大，从而可求出棱锥的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题.