北京市通州区2023届高三数学下学期2月月考试题（Word版附解析）

2023北京通州高三2月月考数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，集合，则（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.【解答】因为集合，集合，所以，故AC均错误；，故B正确，D错误．故选：B．2.双曲线的焦点坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线焦点坐标公式求解即可【详解】双曲线的焦点在轴上，坐标为，即故选：C3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】分别和特殊值0，1比较大小，即可判断.【详解】，，，所以.故选：A4.已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据cosα求出tanα，根据角的终边关于y轴对称可知．【详解】∵是第一象限角，∴，，∵角的终边关于y轴对称，∴．故选：D．5.已知数列满足为其前n项和.若，则（）A.20B.30C.31D.62【答案】C【解析】【分析】先利用等比数列的定义、通项公式得到公比和首项，再利用等比数列的求和公式进行求解.【详解】因为，所以为等比数列，且，又，所以，则.故选：C.6.已知函数，则不等式的解集为()A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．【详解】．故选：C﹒7.已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.【详解】解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，当直线，且，时，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分条件.故选：B8.如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则()AB.C.0D.【答案】C【解析】 【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可.【详解】.故选：C.9.已知数列是公差为d的等差数列，且各项均为正整数，如果，那么的最小值为（）A.13B.14C.17D.18【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，再结合为整数可求得，即可得解.【详解】解：在等差数列中，因为，则，即，故或或或或或或或，所以的最小值为14.故选：B.10.下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：生鲜区熟食区乳制品区日用品区其它区营业收入占比净利润占比该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），给出下列四个结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区；②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区；③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过.其中正确结论的序号是（）A.①③B.②④C.②③D.②③④【答案】D【解析】【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断.【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比，为最低的，故①错；生鲜区的净利润占比，故②正确；生鲜区的营业利润率为，故④正确；熟食区的营业利润率为；乳制品区的营业利润率为；其他区的营业利润率为；日用品区为，最高，故③正确．故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.抛物线的准线方程为__________．【答案】【解析】【分析】抛物线的准线方程为，由此得到题目所求准线方程.【详解】抛物线的准线方程是.【点睛】本小题主要考查抛物线的准线方程，抛物线的准线方程为，直接利用公式可得到结果.属于基础题.12.复数满足，则__________．【答案】【解析】【详解】由题意得， ∴．13.已知圆和直线，则圆心坐标为___________；若点在圆上运动，到直线的距离记为，则的最大值为___________.【答案】①.②.##【解析】【分析】由圆的标准方程可得圆心坐标；根据直线过定点，可知当时，圆心到距离最大，则.【详解】由圆的方程知：圆心坐标为；由直线方程知：恒过点，则，当时，圆心到距离最大，又圆的半径，.14.已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)【解析】【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．【详解】y=x和y=的图象如图所示：∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，故当或时，函数在上不是增函数．故答案为：-2． 15.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论：①的最小正周期是；②在上有3个零点；③在上是增函数；④的最大值为.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】②④【解析】【分析】对①，分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期；对②，直接求零点即可；对③④，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断【详解】对①，因为：，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故①不正确；对②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3个零点，故②正确；对③由题，，由，令得，，， 当，，为增函数，当，，为减函数，当，，为增函数，所以在，上单调递增，在上为单调递减，故③不正确；由于，，所以的最大值为，所以④正确综上，②④正确故答案为：②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，．（1）求∠A；（2）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求BC边上的高．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再结合理解和的正弦公式求解；（2）选择条件①：由，得到sinB，再由sinC＝sin（A+B）求解判断；选择条件②：由A＝ 和sinB＝，求得B＝，再利用sinC＝sin（A+B）求解；然后由BC边上的高h＝bsinC求解．选择条件③：由的面积S＝bcsinA＝×2×c×＝，求得边c，再利用余弦定理求得边a，然后利用等面积法求解.【小问1详解】由正弦定理及，知，因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinB＝cosAsinB，因为sinB≠0，所以cosA＝，又A∈（0，π），所以A＝．【小问2详解】选择条件①：因为，且B∈（0，π），所以sinB＝＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝+＝＜0，故该不存在．选择条件②：因为A＝，所以B∈（0，），由sinB＝，知B＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝，所以BC边上的高h＝bsinC＝2×＝．选择条件③：的面积S＝bcsinA＝×2×c×＝，所以c＝+1， 由余弦定理知，,所以a＝，因为，所以BC边上高h＝．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，．（1）求证：平面；（2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据几何关系证明，根据底面得，进而证明结论；（2）根据题意，两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设，再根据坐标法求解异面直线所成角的余弦值即可.【小问1详解】设中点为E，连接，易知为正方形，且所以，所以因为底面底面，所以又面,面，所以平面【小问2详解】因为底面，在正方形中，所以两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系设则，所以，设平面的法向量为，则即，取，则由（1）知，平面的法向量为因为平面与平面的夹角为，所以，解得，设异面直线PB与CD所成角为，则18.北京2022年冬奥会、向全世界传递了挑战自我、积极向上的体育精神，引导了健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表：时间人数类别[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100性别男51213898女69101064 学段初中10高中m1312754（1）从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在[50，60）的概率；（2）从参加体育实践活动时间在[80，90）和[90，100）的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为μ0，初中、高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为μ1，μ2，当m满足什么条件时，μ0≥．（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据条件概率公式求解即可；（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可.【小问1详解】女生共有6+9+10+10+6+4＝45人，记事件A为“从所有调査学生中随机抽取1人，女生被抽到”，事件B为“从所有调査学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在[50，60）”，由题意可知，，因此， 所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在[50，60）概率为.【小问2详解】由题知，X的所有可能值为0，1，2，时间在[80，90）的学生有10+5＝15人，活动时间在[90，100）的初中学生有8+4﹣4＝8人，记事件C为“从参加体育活动时间在[80，90）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，事件D为“从参加体育活动时间在[90，100）的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”，由题意知，事件C，D相互独立，且,所以,,,所以x的分布列为：故X的数学期望.【小问3详解】根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：时间人数类别[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100性别男51213898女69101064 学段初中11﹣m81111108高中m1312754[50，100）内初中生的总运动时间t1＝8×55+11×65+11×75+10×85+8×95＝3590，[50，100）内高中生的总运动时间t2＝13×55+12×65+7×75+5×85+4×95＝2825，则由题，m＝1，2，3…11，又，，，由可得，当m＝2，3…9时成立，故m的取值范围.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：函数存在极小值；（3）请直接写出函数的零点个数.【答案】（1）y=0；（2）证明见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.（2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答.（3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答.【小问1详解】由函数求导得：，则，而，所以曲线在点处的切线方程是y=0. 【小问2详解】函数的定义域为，由（1）知，，因，则当时，，，，则有，函数在上递减，当时，，，，则有，函数在上递增，于是得当时，函数取得极小值，所以当时，函数存在极小值.【小问3详解】函数的定义域为，，显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，令，则，令，则，当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，，，即有，在，上都递减，令，，当时，，当时，，在上递增，在上递减，，即，恒有，当且仅当时取“=”，当时，，当时，，因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为， 于是得当或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，所以，当或时，函数有一个零点，当或时，函数有两个零点.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.20.已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.（1）求椭圆C的方程和离心率；（2）已知点，过原点O的直线交椭圆C于M，N两点，直线与椭圆C的另一个交点为Q.若的面积等于，求直线的斜率.【答案】（1）椭圆，离心率；（2）或.【解析】【分析】（1）根据题意得到，进而求出a，最后得到椭圆方程和离心率；（2）设出直线PM的方程并代入椭圆方程然后化简，再设出点M,Q的坐标，进而表达出面积，然后结合根与系数的关系求出答案.小问1详解】由题设，得，则，所以椭圆C的方程为，离心率.【小问2详解】设直线的方程为，由得，解得.设，则，，即同号. 根据椭圆对称性知，，所以，整理得，解得，（满足）所以，或.【点睛】本题运算量较大，对于用“根与系数的关系”解决问题是个老套路，但本题对于面积的处理有一定的技巧，平常注意对此类题型的训练.21.已知数集具有性质P：对任意的，使得成立.（1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；（2）已知，求证：；（3）若，求数集A中所有元素的和的最小值.【答案】（1）不具有性质P，具有性质P，理由见解析；（2）证明见解析；（3）75．【解析】【分析】(1)对于，，故可判断它不具有性质P；对于可逐项验证2、3、6均满足对任意的，使得成立，故可判断它具有性质P；(2)根据题意可知，从而，故而可得，将这些式子累加即可得，从而可变形为要证的结论；(3)根据题中已知条件可得该数集，，从而可得该数集元素均为整数，再根据 可构造一个满足性质P的数集或，这两个数集元素之和为75，证明75是最小值即可．【小问1详解】∵，∴不具有性质P；∵，∴具有性质P；【小问2详解】∵集合具有性质P：即对任意的，使得成立，又∵，∴，∴，即，将上述不等式相加得，∴，由于，∴，∴；【小问3详解】最小值为75．首先注意到，根据性质P，得到，∴易知数集A的元素都是整数．构造或者，这两个集合具有性质P，此时元素和为75．下面，证明75是最小的和：假设数集，满足(存在性显然，∵满足的数集A只有有限个)．第一步：首先说明集合中至少有7个元素： 由(2)可知，…又，∴；∴；第二步：证明；若，设，∵，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质P，对，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有4个不同于的元素，从而，矛盾，∴，进而，且；同理可证：；(同理可以证明：若，则)．假设．∵，根据性质P，有，使得，显然，∴，而此时集合A中至少还有3个不同于的元素，从而，矛盾，∴，且；至此，我们得到了，根据性质P，有，使得，我们需要考虑如下几种情形：①，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到元素8， 则；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素，才能得到元素7，则；③，此时集合的和最小，为75；④，此时集合的和最小，为75．【点睛】本题第二问考察对题设条件的理解，根据数集要满足性质P，得到其元素之间应该满足的大小关系，利用数列的累加法思想即可得数集的“前n项和”的范围；本题第三问采用枚举法即可证明，根据题设信息不断地确定数集A中的具体元素，将抽象问题具体化，从而证明出结论，过程中需用反证法证明猜想．