第27章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定第3课时课后习题（附解析人教版）

第3课时　相似三角形的判定(3)知能演练提升能力提升1.如图,在△ABC中,高BD,CE交于点O,下列结论错误的是(　　)A.CO·CE=CD·CAB.OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·ABD.CO·DO=BO·EO2.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有(　　)A.1条B.2条C.3条D.4条3.如图,在等边三角形ABC中,D为边BC上一点,E为边AC上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC的边长为(　　)A.9B.12C.15D.184.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件不能判定这两个三角形相似的是(　　)A.∠A=55°,∠D=35°B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=95.7 如图,在平面直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为　　　　或　　　　时,使得由点B,O,C组成的三角形与△AOB相似.(全等除外,填写出满足条件的点的坐标) 6.如图,直线y=-2x+4与x轴、y轴分别相交于A,B两点,C为OB上一点,且∠1=∠2,则S△ABC=　　　　　.7.如图,△ABC是等边三角形,CE是外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE交于点E.(1)求证:△ABD∽△CED;(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.8.如图,已知∠ACB=∠ADC=90°,AC=6,AD=2,问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似?9.如图,点E是四边形ABCD的对角线BD上一点,且∠BAC=∠BDC=∠DAE.7 (1)求证:BE·AD=CD·AE;(2)根据图形的特点,猜想BCDE可能等于哪两条线段的比(只需写出图中已有线段的一组即可),并说明理由.★10.如图,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动,点D在线段BC的左侧,点E在线段BC的右侧.设BD=x,CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y关于x的函数解析式.(2)如果∠BAC的度数为α,∠DAE的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中的y关于x的函数解析式还成立?试说明理由.创新应用7 ★11.将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类讨论的方法解决下列问题:如图,在△ABC中,∠ACB>∠ABC.(1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D,能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)?(2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数.7 能力提升1.D2.C　如图,过点P作PD∥BC,则有△APD∽△ABC;连接PC并延长,易知PC平分∠ACB,则有△CPB∽△ABC;过点P作PE∥AC,则有△PBE∽△ABC,所以符合题意的相似线最多有3条.3.A　因为△ABC是等边三角形,所以AB=BC,∠B=∠C=60°.由∠ADE=60°,得∠ADB+∠EDC=120°,又因为∠ADB+∠BAD=120°,所以∠BAD=∠EDC.所以△ABD∽△DCE.则ABDC=BDCE,设AB=BC=x,即xx-3=32,解得x=9.4.C　选项A,∵∠A=55°,∴∠B=90°-55°=35°.∵∠D=35°,∴∠B=∠D.∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;选项B,∵AC=9,BC=12,DF=6,EF=8,∴ACDF=BCEF=32.又∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;选项C,有一组角相等,两边对应成比例,但相等的两个角不是成比例的两边的夹角,故不相似;选项D,∵AB=10,BC=6,DE=15,EF=9,∠C=∠F=90°,∴AC=8,DF=12,∴ABDE=BCEF=ACDF=23,∴△ABC∽△DEF.故选C.5.(1,0)　(-1,0)6.3　由已知得OA=2,OB=4.因为∠1=∠2,∠AOB=∠AOC,所以△AOC∽△BOA.所以OAOB=OCOA,即24=OC2.所以OC=1,BC=OB-OC=3.于是得S△ABC=12BC·OA=3.7.(1)证明∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∠ACF=120°.∵CE是外角平分线,∴∠ACE=60°,∴∠BAC=∠ACE.又∠ADB=∠CDE,∴△ABD∽△CED.(2)解过点B作BM⊥AC于点M.∵AC=AB=6,∴AM=CM=3,BM=AB2-AM2=33.7 ∵AD=2CD,∴CD=2,AD=4,MD=1.在Rt△BDM中,BD=BM2+MD2=27.由(1)知△ABD∽△CED,得BDED=ADCD,27ED=2,∴ED=7,∴BE=BD+ED=37.8.解在Rt△ACD中,AC=6,AD=2,由勾股定理,得CD=AC2-AD2=2.当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有ACAD=ABAC,所以AB=AC2AD=3.当Rt△ABC∽Rt△CAD时,有ACCD=ABAC,所以AB=AC2CD=32.故当AB的长为3或32时,这两个直角三角形相似.9.(1)证明∵∠DAE=∠BAC,∴∠DAC=∠BAE.又∠BDC=∠BAC,∠DOC=∠AOB,∴∠DCA=∠EBA.∴△ABE∽△ACD.∴BECD=AEAD,即BE·AD=CD·AE.(2)解BCDE=ACAD.理由:由△ABE∽△ACD,得ABAC=AEAD.∵∠DAE=∠BAC,∴△ABC∽△AED.∴BCDE=ACAD.10.解(1)∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠ADB=12(180°-30°)=75°,∠DAB+∠EAC=105°-30°=75°,∴∠ADB=∠EAC.又∠ABD=∠ACE=180°-75°=105°,∴△ABD∽△ECA,∴BDAC=ABCE,x1=1y,即xy=1.(2)要使xy=1还成立,即△ABD∽△ECA,此时∠ABC=∠ACB=12(180°-α),即∠ADB+∠DAB=12(180°-α).∵∠ADB=∠EAC,∴∠EAC+∠DAB=12(180°-α).7 ∴β-α=12(180°-α),β=90°+12α.故当α,β满足关系式β=90°+12α时,(1)中y关于x的函数解析式还成立.创新应用11.解(1)①如图,若点D在线段AB上,由于∠ACB>∠ABC,因此可以作一个点D满足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC.②如图,若点D在线段AB的延长线上,则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾,因此,这样的点D不存在.③如图,若点D在线段AB的反向延长线上,由于∠BAC是锐角,因此∠BAC<90°<∠CAD,不可能有△ACD∽△ABC.因此,这样的点D不存在.综上所述,这样的点D有一个.(2)若∠BAC为锐角,则由(1)知,这样的点D有一个;若∠BAC为直角,则这样的点D有两个;若∠BAC为钝角,则这样的点D有一个.7