湖南省邵阳市2022-2023学年高二数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

2023年邵阳市高二联考试题卷数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足：（为虚数单位），则的共轭复数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则，得到，结合共轭复数的定义，即可求解.【详解】由，可得，可得.故选：C.2.已知全集，设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，分别求得，结合集合的补集与并集的运算，即可求解.【详解】由集合，可得，所以.故选：C.3.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先观察到，代入原式，利用诱导公式求解.【详解】因为,所以，故选：A.4.函数在区间的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性与特殊点法判断即可.【详解】因为的定义域为，又，所以是奇函数，故BC错误；而，故D错误；由于排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确.故选：A.5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生 培养基地.已知某班级有共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则同学选择浙江大学的不同方法共有（）A.24种B.60种C.96种D.240种【答案】B【解析】【分析】依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有A同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算.【详解】5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知同学选择浙江大学，当有两位同学选择了浙江大学时，则这4位同学在4所大学中分别选了一所，共种选法；当只有A同学选择了浙江大学时，则这4位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共种选法；所以同学选择浙江大学的不同方法共有种.故选：B6.设非零向量满足，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则，求得，结合，即可求解.【详解】由非零向量满足，因为，可得，解得，所以在上的投影的向量为.故选：A.7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上 的动点，则的最小值为（）A.13B.11C.9D.8【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因为，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 8.已知函数是上的奇函数，对任意的均有成立.若，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，所以构造函数，求导后可得，可得在上单调递增，然后对变形得，再利用其单调性可求得结果.【详解】由，得，设，则.在上单调递增.又为奇函数，..故选：B.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件合理构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若正实数满足，则下列结论中正确的有（）A.的最大值为1B.的最大值为2 C.的最小值为2D.的最小值为2【答案】AD【解析】【分析】根据进行计算然后可判断A项；利用“1”的妙用及均值不等式计算可判断B项；根据可判断C项，将变形为，然后结合的范围可判断D项.【详解】对于A项，因为，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A项正确；对于B项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故B项错误；对于C项，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，故C项错误；对于D项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故D项正确.故选：AD.10.下列说法中，错误的是（）A.若事件满足：，且，则与相互独立B.某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为，则该样本数据的第75百分位数为8C.若随机变量，则方差D.在回归模型分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据相互独立事件的定义和性质可得A正确；对于B，按照求百分位数的方法计算可知B错误；对于C，根据二项分布的方差公式和方差的性质计算可知C错误；对于D，根据回归模型分析可知D正确.【详解】对于A，若，且，则与相互独立，则与相互独立，故A正确；对于B，将8个样本数据按从小到大顺序排列为：，因为为整数，所以该样本数据的第75百分位数为，故B错误；对于C，若随机变量，则，则方差，故C错误；对于D，显然正确.故选：BC11.设是抛物线上的两点，是抛物线的焦点，则下列命题中正确的是（）A.若直线过抛物线的焦点，则的最小值为2B.若点的坐标为，则C.过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且只有两条D.若（点在第一象限），则直线的倾斜角为【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线的弦长公式可判定A选项；点到点的距离公式可得出B选项；直线与抛物线只有一个公共点一定要考虑斜率为0和斜率不存在的特殊情况，不仅仅是；D选项利用向量的坐标运算，得到，再带入韦达定理求解即可.【详解】由题，，设直线 联立，（※），故的最小值为2，A选项正确；点的坐标为，则，故B选项正确；设过点的直线方程为或或，时，与抛物线只有一个公共点；时，与抛物线只有一个公共点；时，联立解得，故与抛物线只有一个公共点的直线有3条，C选项错误；因为（点在第一象限），所以直线AB经过点F，带入（※）式得：且,故直线的倾斜角为.故选：ABD.12.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二， 鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”，文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥，如图所示，在堑堵中，若，则下列说法中正确的有（）A.四棱锥为阳马，三棱锥为鳖臑B.点在线段上运动，则的最小值为C.分别为的中点，过点的平面截三棱柱，则该截面周长为D.点在侧面及其边界上运动，点在棱上运动，若直线，是共面直线，则点的轨迹长度为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据阳马、鳖臑的定义判断即可；对于B，利用展开面求得的最小值即可判断；对于C，作出截面，利用三角形重心的性质与勾股定理求解即可判断；对于D，利用平面的性性求得点的轨迹，从而得以判断.【详解】对于,由题意，易知面，四边形为长方形，所以四棱锥为“阳马”，在棱锥中，为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑，故正确，对于选项：将沿旋转与共面且位于异侧，如图所示， ，故B正确，对于选项：过的截面如图所示，因为，是的中点，故是的中点，又分别为的中点，所以为的重心，，，所以截面周长为，故正确，对于D选项：面，共面，所以面，又点在侧面及其边界上运动，面面， 所以点的轨迹为线段，且，故D错误，故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题C选项解决的关键在于判断得为的重心，从而利用勾股定理可求得截面各线段的长.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列中，，则公比为__________.【答案】3【解析】【分析】根据题意，得到，即可求解.【详解】由等比数列中，，可得，解得.故答案为：.14.已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最小值为__________.【答案】##.【解析】【分析】根据周期求出，再利用正弦函数的图象可得结果.【详解】依题意可得，得，所以.令，则，因为，所以，所以当时，取得最小值为.所以在区间上的最小值为.故答案为：. 15.某市2022年高二数学联考学生成绩，且.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为__________.【答案】##.【解析】【分析】根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.故答案为：16.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上，且关于原点对称.若的面积为，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连，可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出的关系，从而可求出离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连，因为所以四边形为矩形. 不妨设点在双曲线的右支上，设，则由①得：所以，即，所以，所以离心率.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的公差不为，，且，，成等比数列.（1）求数列的前项和；（2）记，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由等比中项可得出，转化为和的关系，求解出通项公式，进而求解出前项和.（2）先表示出的通项公式，利用裂项求和求出，再根据表达式进行范围判断，进而证明出结果. 【小问1详解】由题意可知，，故，即，解得（舍去）或.，.【小问2详解】由（1）知，故，又，，，从而得证.18.在中，角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：由，得，再利用正弦定理化边为角，进而可得出答案；方法二：利用正余弦定理化角为边，化简即可得解；（2）根据三角形内角和定理及二倍角公式求出，再利用正弦定理解三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】 方法一：由，得，由正弦定理得，即，又，故，解得；方法二：由，及正､余弦定理可得，整理得，解得；【小问2详解】由，得，又，故，，由正弦定理可得，，的面积. 19.如图所示，在三棱台中，平面平面，，.（1）证明：；（2）当二面角为时，求三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质：一个平面内，垂直于交线的直线垂直于另一个平面，再由线面垂直判定线线垂直；（2）法一：建立空间直角坐标系，根据二面角为，找到，从而求得三棱台的体积.法二：通过定义法找到即为二面角的平面角，即，从而找到，进而找到三棱台的体积.【小问1详解】平面平面，平面平面，又平面，平面，又平面，.【小问2详解】方法一：（坐标法）过作交于点，平面平面， 平面平面，又平面，所以平面，且，设.以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，.设平面的一个法向量为，又，由则.由（1）知平面，故平面的一个法向量....方法二：（几何法）连接，如图所示. 由，易得，且，.面平面，又平面，平面.故即为二面角的平面角，即.在Rt中，.过作交于点，平面平面，平面平面，又平面，所以平面，且，..20.已知函数.（1）讨论函数在定义域内的单调性； （2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是（2）【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；（2）由不等式恒成立，分离参数得，通过构造函数，利用导数求最小值的方法求实数的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为，.由，得，由，得.的单调递增区间是，单调递减区间是.【小问2详解】，即得.设，则..设，，在上单调递增.而，.在上存在唯一零点，，由，有，可得.当时，，单调递减. 当时，，在上单调递增.，，故的取值范围是.21.已知是椭圆上的一点，为椭圆的左､右焦点，为其短轴的两个端点，是与的等差中项.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于点，与圆切于点，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值，【解析】【分析】（1）由椭圆定义得到，结合在椭圆上，得到方程组，求出，得到椭圆方程；（2）考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，与椭圆方程联立，计算出，从而得到为定值.【小问1详解】将点代入椭圆方程得①，由题意可知：，由椭圆定义可知②，由①②得.椭圆的方程为.【小问2详解】 当直线斜率不存在时，不妨取直线的方程为：，，∵，在Rt中，.当直线的斜率存在时，设的方程为：.直线与圆相切，.即.由得，.从而在Rt中，. 由①②得，为定值.【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定22.新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量，求的数学期望；（2）（i）记表示“从游客中随机抽取人，总分恰为分”的概率，求的前4项和；（ii）在对游客进行随机问卷调查中，记表示“已调查过的累计得分恰为分”的概率，探求与的关系，并求数列的通项公式.【答案】（1）（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求解即可；（2）（i）根据题意可得“总分恰为分”的概率为，再根据等比数列前项和公式求解即可；（ii）方法一：“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为，则，再利用构造法求解即可.方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分，“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，则“得分的概率为”，“得分”的概率为，根据题意可出的关系，再利用构造法求解即可.【小问1详解】可能取值为， ，，，的数学期望；【小问2详解】（i）“总分恰为分”的概率为，数列是以首项为，公比为的等比数列，记前项和为，则前4项和；（ii）方法一：“已调查过的累计得分恰为分”的概率为，得不到分的情况只有先得分，再得4分，概率为，所以，即，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，，方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分， “已调查过的累计得分恰为分”的概率为，则“得分”的概率为，“得分”的概率为，所以，由，得，，，（后面同方法一）另解：由，得，，.又