人教A版选修2-2课件2.1.2 演绎推理

2.1.2演绎推理 1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. 1.怎样认识演绎推理?剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具. 2.合情推理和演绎推理有怎样的关系?剖析: 温馨提示就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要靠合情推理,因此我们不仅要学会证明,也要学会猜想. 题型一题型二题型三题型四把演绎推理写成三段论的形式【例1】把下列推断写成三段论的形式:(1)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;(2)y=sinx(x∈R)是周期函数.分析:解答本题的关键在于分清大前提、小前提和结论,还要准确利用三段论的形式.解:(1)因为一条边长的平方等于其他两条边长平方的和的三角形是直角三角形,大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提所以△ABC是直角三角形.结论(2)因为三角函数是周期函数,大前提y=sinx(x∈R)是三角函数,小前提所以y=sinx(x∈R)是周期函数.结论 题型一题型二题型三题型四反思在用三段论写推理过程时,关键是明确大前提、小前提.三段论中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至大前提与小前提都省略.在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件. 题型一题型二题型三题型四【变式训练1】把下列演绎推理写成三段论的形式:(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;(2)一切偶数都能被2整除,256是偶数,所以256能被2整除;(3)函数y=x+5的图象是一条直线. 题型一题型二题型三题型四解:(1)因为在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提所以水会沸腾.结论(2)因为一切偶数都能被2整除,大前提256是偶数,小前提所以256能被2整除.结论(3)因为一次函数的图象是一条直线,大前提y=x+5是一次函数,小前提所以y=x+5的图象是一条直线.结论 题型一题型二题型三题型四三段论在证明几何问题中的应用【例2】如图,三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.求证:(1)A1B⊥AD;(2)CE∥平面AB1D.分析:(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直(2)线线平行→线面平行 题型一题型二题型三题型四证明:(1)连接A1D,DG,BD,∵三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,A1A⊥底面ABC,∴四边形A1ABB1为正方形.∴A1B⊥AB1.∵点D是C1C的中点,∴△A1C1D≌△BCD.∴A1D=BD.∵点G为A1B与AB1的交点,∴G为A1B的中点.∴A1B⊥DG.又DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面AB1D.又AD⊂平面AB1D,∴A1B⊥AD. 题型一题型二题型三题型四(2)连接GE,易知EG∥A1A.∵A1A∥C1C,∴四边形GECD为平行四边形.∴CE∥DG.又CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D,∴CE∥平面AB1D. 题型一题型二题型三题型四反思1.在几何证明问题中,每一步实际上都含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理应用于特殊情况,从而得到相应结论.2.在本题中,第(1)问中的一个大前提:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线;小前提:A1B⊥平面AB1D,AD⊂平面AB1D;结论:A1B⊥AD.第(2)问中的一个大前提:如果平面外一条直线平行于平面内一直线,那么这条直线平行于这个平面;小前提:CE∥DG,CE⊄平面AB1D,DG⊂平面AB1D;结论:CE∥平面AB1D. 题型一题型二题型三题型四【变式训练2】如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DB⊥AC,点M是棱BB1上一点.求证:(1)B1D1∥平面A1BD;(2)MD⊥AC. 题型一题型二题型三题型四证明:(1)由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,得BB1∥DD1.又BB1=DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD,∴B1D1∥平面A1BD.(2)∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴BB1⊥AC.又BD⊥AC,且BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D.而MD⊂平面BB1D1D,∴MD⊥AC. 题型一题型二题型三题型四演绎推理在代数问题中的应用(1)求φ;(2)求y=f(x)的单调递增区间;(3)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四反思应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在的条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的. 题型一题型二题型三题型四证明:对于任意x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则y=f(x)在(-1,+∞)内是增函数.(大前提)设x1,x2是(-1,+∞)内的任意两个数,且x1<x2,则 题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:在推理中因循环论证、大(小)前提错误而致错【例4】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=|BC|,b=|AC|,c=|AB|,求证:a2+b2=c2.错解:证明:在Rt△ABC中,∠C=90°,设a=csinA,b=ccosA,则a2+b2=c2sin2A+c2cos2A=c2(sin2A+cos2A)=c2.错因分析:上述推理犯了循环论证的毛病.本题论证的是勾股定理,而在解题过程中用到了“sin2A+cos2A=1”这个公式,它是由勾股定理推出来的,这种间接地用待证命题的真实性作为证明的论据,就是循环论证. 题型一题型二题型三题型四正解:证明:用平面几何的方法.如图,在Rt△ABC中,过点C作CH⊥AB于点H,则利用相似三角形,有|CA|2=|AH|·|AB|,|CB|2=|BH|·|AB|,相加即得|CB|2+|CA|2=|AB|2,所以a2+b2=c2. 题型一题型二题型三题型四(2)如图,已知S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证:AB⊥BC.错解:证明:因为平面SAB⊥平面SBC,且BC⊂平面SBC,所以BC⊥平面SAB,故AB⊥BC.错因分析:错解中的证明在于使用的大前提“如果两个平面互相垂直,那么一个平面内的直线垂直于另一个平面”是错误的,使用的大前提应该是“如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面”. 题型一题型二题型三题型四正解:证明:如图,过点A作直线AE⊥SB于点E,因为平面SAB⊥平面SBC,且交线为SB,所以AE⊥平面SBC.所以BC⊥AE.又因为SA⊥平面ABC,因为BC⊂平面ABC,所以SA⊥BC.因为SA∩AE=A,所以BC⊥平面SAB.故BC⊥AB,即AB⊥BC. 题型一题型二题型三题型四反思常见的解题错误:(1)条件理解错误(小前提错);(2)定理引入和应用错误(大前提错);(3)推理过程错误等.