人教A版选修1-2课件2.2.2 反证法

2.2.2反证法 1.反证法一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法. 做一做1用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.其中正确的顺序应该是()A.①②③B.①③②C.③①②D.③②①解析:根据反证法的步骤,容易知道选C.答案:C 2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法的一般步骤用反证法证明命题时,要从否定结论开始,经过正确的推理,导出逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程,这个过程包括下面三个步骤:(1)反设——假设命题的结论不成立,即假设原结论的反面为真;(2)归谬——由“反设”作为条件,经过一系列正确的推理,得出矛盾;(3)存真——由矛盾结果断定反设错误,从而肯定原结论成立. 答案:D 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)反证法是间接证明的一种基本方法.()(2)反证法与“证明逆否命题法”是同一种方法.()(3)否定性命题、唯一性命题等只能用反证法进行证明.()(4)反证法证明的第一步是对原命题的结论进行否定.()√××√ 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用反证法证明:否定性命题【例1】已知数列的通项公式为an=n2+n(n∈N*),求证:数列中,任意连续的三项不可能构成等差数列.分析:该命题是否定性命题,故可用反证法证明.证明:假设数列中,存在连续的三项,构成等差数列.设这连续的三项为ak,ak+1,ak+2(k∈N*),则2ak+1=ak+ak+2,即2[(k+1)2+(k+1)]=(k2+k)+[(k+2)2+(k+2)],整理得2k2+6k+4=2k2+6k+6,所以4=6,这显然是矛盾的.因此假设错误,即数列中,任意连续的三项不可能构成等差数列. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1已知m是整数,且m2+6m是偶数,求证:m不是奇数.证明:假设m是奇数,不妨设m=2k-1(k∈Z),则m2+6m=(2k-1)2+6(2k-1)=4k2+8k-5=4(k2+2k)-5,由于k∈Z,所以k2+2k∈Z,于是4(k2+2k)是偶数,从而4(k2+2k)-5为奇数,即m2+6m是奇数,这与已知条件中的m2+6m是偶数相矛盾,因此假设错误,即m不是奇数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用反证法证明:唯一性命题【例2】求证:经过平面α外一A点只能有一条直线和平面α垂直.分析:本题为唯一性命题,可用反证法证明,即假设经过点A有两条直线都与平面α垂直,然后根据空间以及平面中的有关定理推出矛盾. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:如图,点A在平面α外,假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB,AC(B,C为垂足),那么AB,AC是两条相交直线,它们确定一个平面β,平面β和平面α相交于直线BC,因为AB⊥平面α,AC⊥平面α,且BC⊂α,所以AB⊥BC,AC⊥BC.在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直,这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾.因此假设错误,即经过平面外一点A只能有一条直线和平面α垂直. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2已知函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)在[m,n]上单调递减,若f(m)f(n)<0,求证:方程f(x)=0在[m,n]上有且只有一个实数根.证明:由于函数f(x)在区间[m,n]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(m)f(n)<0,所以f(x)在区间[m,n]上至少存在一个零点,亦即方程f(x)=0在[m,n]上至少有一个实数根.下面证明方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的.设方程f(x)=0在[m,n]上的实数根为x0,则f(x0)=0.假设方程f(x)=0在[m,n]上还存在另一个实数根x1,则f(x1)=0,且x0≠x1.若x0>x1,则有f(x0)<f(x1),即0<0,矛盾;若x0<x1,则有f(x0)>f(x1),即0>0,矛盾;故假设错误,即方程f(x)=0在[m,n]上的根是唯一的. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测用反证法证明:“至少、至多”型命题【例3】已知a,b,c都是小于2的正数,求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一个不大于1.分析:本题为“至少”、“至多”型问题,反设其结论,容易导出矛盾,故用反证法证明. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(方法2)假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1,即(2-a)b>1,(2-b)c>1,(2-c)a>1,以上三式相乘得(2-a)b·(2-b)c·(2-c)a>1,即a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)>1.又由于a,b,c都是小于2的正数,同理b(2-b)≤1,c(2-c)≤1,所以a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)≤1,这与a(2-a)·b(2-b)·c(2-c)>1相矛盾,故假设错误,即(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a中至少有一个不大于1. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练3已知a,b,c是互不相等的非零实数,求证:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明:假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点.由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ1=(2b)2-4ac≤0,且Δ2=(2c)2-4ab≤0,且Δ3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和得4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0.∴a=b=c.这与题设a,b,c互不相等矛盾,因此假设不成立,从而原命题得证. 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测反证法证明过程中漏用反设导致错误典例已知实数k满足2k2+3k+1<0,运用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-k2=0没有实数根. 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测 探究二探究三探究一思维辨析当堂检测变式训练用反证法证明命题“已知a,b为整数,若ab不是偶数,则a,b都不是偶数”时,对结论的正确的反设是.解析:对于整数a,b,一共有以下四种情况:(1)a是偶数,b是偶数;(2)a是偶数,b是奇数;(3)a是奇数,b是偶数;(4)a是奇数,b是奇数.因此“a,b都不是偶数”的含义是其中的第(4)种情况,其否定应为剩余的(1)(2)(3)三种情况,故应为“a,b不都是奇数”.也可以是“a,b至少有一个是偶数”.答案:“a,b不都是奇数”(“a,b至少有一个是偶数”) 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测1.下列命题不适合用反证法证明的是()A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B.两个不相等的角不是对顶角C.平行四边形的对角线互相平分D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于1解析:A中命题条件较少,不易正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是“至少”型命题,其结论包含三种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明.答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测2.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角解析:“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”,因此它的反面应是“至少有两个”.答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测3.如果两个实数之和为正数,则这两个数()A.至少有一个是正数B.两个都是正数C.一个是正数,一个是负数D.两个都是负数解析:假设两个数都不是正数,即都是负数或者0,其和必为负数或者0,与已知矛盾,所以两个数中至少有一个是正数,故选A.答案:A4.命题“在△ABC中,A>B则a>b”,用反证法证明时,假设应该是.解析:命题的结论是a>b,假设应是“a≤b”.答案:a≤b 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测