安徽省马鞍山市2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

马鞍山市2022～2023学年第二学期期末教学质量监测高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号等信息填写在答题卡的相应位置上.2．作答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，将答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数（其中为虚数单位）的虚部为（）A.1B.－1C.D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法法则化简复数，根据虚部的概念求解即可.【详解】因为，所以复数的虚部为1.故选：A2.（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据二倍角公式即可求出．【详解】．故选：D．【点睛】本题主要考查二倍角公式应用，属于容易题． 3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.【详解】对于A，，不可以作为基底，A错误；对于B，，共线，不可以作为基底，B错误；对于C，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，C正确；对于D，，共线，不可以作为基底，D错误.故选：B.4.通过抽样调查得到某栋居民楼12户居民的月均用水量数量（单位：吨），如下表格：4.13.24.25.64.35.06.36.23.53.94.55.2则这12户居民的月均用水量的第75百分位数为（）A5.0B.5.2C.5.4D.5.6【答案】C【解析】【分析】把给定数据由小到大排列，再根据百分位数的定义求解作答.【详解】依题意，居民的月均用水量由小到大排列为：3.2，3.5，3.9，4.1，4.2，4.3，4.5，5.0，5.2，5.6，6.2，6.3，而，可知第75百分位数为第,9项和第10项数据的平均数，所以这12户居民的月均用水量的第75百分位数为5.4.故选：C5.已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则 C.若，且，则D.若，且，则【答案】D【解析】【分析】根据线面之间的位置关系判定即可.【详解】对于A项，可能相交，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故A错误；对于B项，有的可能，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故B错误；对于C项，如图所示正方体中，若分别为直线，为平面，为平面，此时符合条件，但结论不成立，故C错误；对于D项，因为，又，所以，故D正确；故选：D6.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可以得函数的图象.【详解】由题意知，将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），就可得函数的图象，所以.故选：B7.正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC的中点，BE与AF交于点G．则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，分别利用三点共线和三点共线结合共线向量定理可求出点的坐标，再利用平面向量基本定理可求得结果.【详解】如图，以为原点，分别以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则，所以，因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，所以， 设，则，所以，所以，故选：A8.在直三棱柱中，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可将棱柱补成长方体，长方体的对角线即为球的直径，从而可求球的表面积．【详解】三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，可将棱柱补成长方体，且长方体的长宽高分别为4,4,6.长方体的对角线，即为球的直径.球的半径，球的表面积为.故选：C． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.若复数z满足（为虚数单位），则（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】运用复数除法化简可得，分别运用共轭复数的概念、复数模公式、复数乘法运算及乘方运算即可判断各个选项.【详解】因为，所以，对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项错误；对于D项，，，故D项正确.故选：BD.10.已知函数的部分图象，则（）A.B.C.点是图象的一个对称中心 D.的图象向左平移个单位后所对应的函数为偶函数【答案】ACD【解析】【分析】A选项，根据图象得到最小正周期，从而求出；B选项，代入，求出；C选项，得到函数解析式，求出，故C正确；D选项，求出平移后的解析式，利用函数奇偶性定义得到答案.【详解】A选项，由图象可得到函数最小正周期，故，因为，所以，解得，A正确；B选项，将代入解析式得，因为，解得，B错误；C选项，，故，故点是图象的一个对称中心，C正确；D选项，的图象向左平移个单位后得到，因为的定义域为R，且，故为偶函数，D正确.故选：ACD11.在中，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为锐角三角形C.若，则为钝角三角形 D.存在满足【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用正弦定理分析判断，对于B，利用正弦定理转化为边的形式，然后举例判断，对于C，由已知条件可得，再利用正弦函数的性质可得结论，对于D，利用余弦函数的性质分析判断.【详解】对于A，因为，所以由正弦定理得，所以由大边对大角可得，所以A正确，对于B，因为，所以由正弦定理得，所以由余弦定理得，因为，所以为锐角，因为，所以，中有可能有钝角，或直角，所以不一定是锐角三角形，所以B错误，对于C，因为，所以，且角为锐角，当角锐角时，则，所以，所以角为钝角，当角为钝角时，则，所以，则，此式成立，综上，为钝角三角形，所以C正确，对于D，若，则，因为，在上递减，所以，所以，这与三角形内角和定理相矛盾，所以不存在满足，所以D错误，故选：AC12.在正方体中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段上的动点，过E，F，G作正方体的截面记为，则（） A.当截面为正六边形时，G为中点B.当时，截面为五边形C.截面可能是等腰梯形D.截面不可能与直线垂直【答案】AC【解析】【分析】利用平面的基本性质画出正方体的截面，即可判断A、B、C；利用线面垂直的判定判断D.【详解】若G为中点，如图：延长EF交DC于，交DC于，延长交于T，取的中点S，连接交于，连接，，因为E为AB的中点，F为BC的中点，所以，又，，所以≌，所以T为的中点，所以，又，所以，同理，则，所以共面，此时正六边形为截面，符合题意，故A正确；因为四边形为正方形，则， 而平面平面，即有，又平面，则平面，而平面，因此，同理平面，又平面，则有，又，所以，为相交直线且在内，所以，故当G为线段上的中点时，截面与直线垂直，故D错误；如图：延长EF交AD于，交DC于，连接交于G，连接交于M，此时截面为五边形，因为，所以∽，所以，即，当时，截面为五边形，当时，截面为六边形，当时，截面为四边形，所以当时，截面为五边形，故B错误；当G与重合时，如图： 连接，，，则，且，又，所以四边形为等腰梯形，即截面是等腰梯形，故C正确；综上，正确的选项为AC.故选：AC【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．13.已知向量，，且，则______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为，，且，所以，即，解得.故答案为：14.已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为____________．【答案】【解析】【分析】由圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，得到，求出即为母线，从而得到底面半径，求得圆锥的高，继而求得圆锥的体积．【详解】某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，设半圆的半径为，所以，所以，因为半径即为圆锥母线长， 设圆锥底面圆半径为，则，底面半径，所以圆锥的高为，故圆锥的体积为．故答案为：．15.计算：__________．【答案】【解析】【详解】由，可得，所以，故答案为.16.已知△ABC是钝角三角形，角A，B，C的对边依次是a，b，c，且，，则边c的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，结合三角形两边和大于第三边求解即可.【详解】当角C为最大角时，由题意，，即，解得，又三角形两边和大于第三边，故，故；当角C不是最大角时，则角B为最大角，由题意，，即，解得，又三角形两边差小于第三边，故，故；所以边c的取值范围是. 故答案为：四、解答题：本题共6题，共70分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17.某小学对在校学生开展防震减灾教育，进行一段时间的展板学习和网络学习后，学校对全校学生进行问卷测试（满分分）．现随机抽取了部分学生的答卷，得分的频数统计表和对应的频率分布直方图如图所示：得分人数（1）求，的值，并估计全校学生得分的平均数；（2）根据频率分布直方图，估计样本数据的和分位数．【答案】（1），，（2）；．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可.（2）利用分位数的定义求解即可.【小问1详解】由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷数为，由，得． 所以，得分的平均数估计值为：．【小问2详解】由图可知，内的比例为，内的比例为，内的比例为，内的比例为．因此，分位数一定位于．由，可以估计样本数据的分位数为．类似的，由，可以估计样本数据的分位数为．18.在中，角A，B，C的对边依次是a，b，c.若.（1）求角C；（2）当，时，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化角为边，然后利用余弦定理求出角；（2）利用正弦定理求出边，然后代入面积公式求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理得，即， 所以，又，所以；【小问2详解】由题意，又，所以，由正弦定理：得，又，所以的面积.19.如图所示，在直三棱柱中，，D，E分别为棱AB，的中点.（1）证明：CD∥平面；（2）求BE与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线的性质证得四边形DGEC是平行四边形，进而得，所以可证明CD∥平面；（2）利用线线垂直证明面，根据线面角的概念得即为所求的线面角，然后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】连接，取中点为点，连接，因为G，D分别为，AB的中点，所以且，又E为中点，所以且，所以且，则四边形DGEC为平行四边形，所以，又平面，平面，则平面.【小问2详解】连接BG，BE，因为，D为AB中点，则，又直三棱柱，面，则，又，又面，面，所以面，由（1）知，，所以面，则与平面所成角为，因为，所以，，所以，则与平面所成角的正弦值为.20.在中，角、、的对边分别为、、，已知.（1）若的面积为，求的值；（2）设，，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得的值，利用三角形的面积公式可求得的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值；（2）由结合二倍角公式可求得，求得和的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】（1），，则，的面积为，.因此，；（2），，且，所以，，即，.，.，，因此，.【点睛】本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于x的方程在区间上恰有一解，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用换元法求单调递增区间；（2）将问题转化为的图象与直线在区间上有一个交点，结合图象求得结果.【小问1详解】因为，由，得，所以函数的递增区间为；【小问2详解】因为，所以，而在上单调递减，在上单调递增，而，，，如图作出函数，的图象：又方程在区间上恰有一解， 所以的图象与直线在区间上有一个交点，所以或，解得或即m的取值范围为.22.如图所示，在四棱锥中，底面是边长2的正方形，侧面为等腰三角形，，侧面底面．（1）在线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）存在，（2）．【解析】【分析】（1）由已知面面垂直可得平面，则，而要使，则必有平面，则，然后在等腰三角形中求解即可；（2）作的中点，连接，取的中点，连接,则可证得是所求二面角的平面角，然后在中求解即可.【小问1详解】存在点E满足条件，且证明：因为底面为正方形，所以，因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面， 因为平面，所以，而，平面，平面，要使，则必有平面，因为平面，所以在等腰三角形PAD中，，，计算可得，，所以，所以．【小问2详解】解：作的中点，连接．因为，所以．取的中点，连接,因为，∥，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以是所求二面角的平面角．因为为等腰三角形，且，底面为边长为2的正方形，所以，．因为，侧面底面，侧面底面，平面，所以底面，因为底面，所以，在中，，所以． 所以故二面角的余弦值．