天津市南开区2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期阶段性质量监测高一年级数学学科2023．06本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟．参考公式：球的表面积公式，其中R表示球的半径．锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么．一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是（）A.所取的3个球中至少有一个白球B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球C.所取的3个球都是黑球D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义即可判断．【详解】将事件的结果分为三类：白，白，黑；白，黑，黑；黑，黑，黑.事件包含：白，黑，黑；黑，黑，黑.根据互斥事件的定义可知，只有事件“所取的3个球中恰有2个白球1个黑球”与事件互斥．故选：B．2.设复数，则复数的模为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据复数模的定义求解即可. 【详解】,.故选：B3.已知，，且与的夹角，则等于（）A.B.6C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义进行求解.【详解】因为，，且与的夹角，所以.故选：A4.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合频率和为1列式求解.【详解】由频率分布直方图可知：每组频率依次为，则，解得.故选：C.5.如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（）． A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意可知：正三棱柱的体积，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.故选：A.6.某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号123456789101112131415身高173179175173170169177175174182168175172169176那么这组数据的第80百分位数是（）．A.170B.175C.176D.【答案】D【解析】【分析】根据百分位数的定义运算求解.【详解】将身高按升序排列得：，因为，所以这组数据的第80百分位数是.故选：D.7.从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从数字中任取三个不同的数字，方法有：共种，其中所抽取的三个数字之和能被整除的有：共种，故所求概率为.故选：C8.已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正四面体的棱长，求出正四面体的高，设外接球半径为，利用勾股定理求出的值，可求外接球的表面积.【详解】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，棱锥的高为，设外接球半径为，则，解得.所以外接球的表面积为.故选：B.9.已知三条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D 【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.【详解】若,可以有或相交，故A错；若，可以有或异面，故B错；若，可以有、与斜交、，故C错；过作平面，则，又，得，，所以，故D正确.故选:D【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.10.已知为的一个内角，向量.若，则角A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】带入计算即可．【详解】即,选C.【点睛】本题考查向量向量垂直的坐标运算，属于基础题．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11.某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为________．【答案】32 【解析】【分析】根据分层抽样的性质运算求解.【详解】由题意可得：样本中女生人数为.故答案为：32.12.已知为虚数单位，复数的共轭复数为________．【答案】【解析】【分析】根据复数的运算结合共轭复数的概念求解.【详解】由题意可得：，所以复数的共轭复数为.故答案为：.13.已知向量，，则在方向上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】先根据向量的坐标运算求，进而求投影向量.【详解】由题意可得：，所以在方向上的投影向量为.故答案：.14.已知正三棱柱，O为的外心，则异面直线与OB所成角的大小为________．【答案】【解析】【分析】根据异面直线夹角的定义结合线面垂直分析求解.【详解】延长交于点，因为为正三角形，则点为的中点，可得， 又因为平面，平面，可得，且，平面，可得平面，由于平面，所以，即，所以异面直线与OB所成角的大小为.故答案为：.15.矩形中，，，点在对角线上，点在边上，且，，则________．【答案】【解析】【分析】以为基底向量表示，再根据垂直关系结合数量积的运算律运算求解.【详解】以为基底向量，则，因为，，且，则，所以.故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.复数（）.（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）先化简出的代数形式，再根据题意求实数的值和在复平面内对应的点的坐标；（2）先化简出的代数形式，再根据题意建立不等式求实数的取值范围即可.【详解】解：因为，所以（1）若为纯虚数，则，解得：，此时，在复平面内对应的点的坐标为：，所以为纯虚数时实数，在复平面内对应的点的坐标为：（2）若在复平面内对应的点位于三象限，则，解得所以在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围：.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.17.甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响，（1）求乙、丙两人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．【答案】（1）乙、丙两人各自命中的概率分别为、（2）【解析】 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率乘法公式运算求解；（2）分甲、乙、丙三人中2人命中和甲、乙、丙三人中都命中两种情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】记“甲投球命中”为事件A，“乙投球命中”为事件B，“丙投球命中”为事件C，则，解得，，解得，所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、.【小问2详解】甲、乙、丙三人中2人命中的概率，甲、乙、丙三人中都命中的概率，所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率.18.已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．（1）求实数的值；（2）若，，求的坐标；（3）已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点A的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意求，结合向量共线的判定定理运算求解；（2）根据题意结合向量的线性运算以及坐标运算求解； （3）根据题意结合向量相等运算求解.【小问1详解】由题意可得：，若三点共线，则存在唯一实数，使得，即，可得，解得，即实数的值为.【小问2详解】由（1）可知：，则，因为，，则，所以的坐标为.【小问3详解】设点A的坐标为，则，若四边形是平行四边形，则，可得，解得，所以点A的坐标.19.已知的内角的对边分别是，，，且，．（1）求角A；（2）求周长的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意结合正、余弦定理运算求解；（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，再根据三角函数性质运算求解.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，且，所以.【小问2详解】由正弦定理，可得，则周长，因为，则，可得，所以周长即周长的取值范围为.20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点. （1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面PAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，则FG为中位线，根据题意，可证明四边形BEFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）设AC∩BD＝O，连接PO，根据题意可证BD⊥PO，BD⊥AC，利用面面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明：（1）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC； （2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.