四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2023届高三数学（理）下学期三模试题（Word版附解析）

成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2020级高三三诊模拟理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校､姓名､班级､准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.第I卷（选择题，共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数的性质，求得集合，再结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由函数，当时，可得，即集合，又由集合，所以.故选：A.2.已知复数为虚数单位)，则的虚部为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由条件中的复数相等，应用复数的四则运算得，即可写出，进而可确定其虚部. 【详解】由，∴，其虚部为.故选：B.3.构建德､智､体､美､劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德､智､体､美､劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）､高三（2）班两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法正确的是（）实线：高三（1）班的数据虚线：高三（2）班的数据A.高三（2）班五项评价得分的极差为B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大D.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高【答案】D【解析】【分析】根据题意可得各班的各项得分，根据分值逐项分析判断.【详解】由题意可得：高三（1）班德､智､体､美､劳各项得分依次为，高三（2）班德､智､体､美､劳各项得分依次为.对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为，A错误；对于B：两班的德育得分均为，两者相等，B错误； 对于C：两班的德育得分相差；两班的智育、体育和美育得分相差均为；两班的劳育得分相差；故两个班的劳育得分相差最大，C错误；对于D：高三（1）班得分的平均数为，高三（2）班得分的平均数为，∵，故高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确.故选：D.4.已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊点可排除C，即可求解【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，对于A：由得：，为偶函数，故可排除A；对于D：由得：， 为偶函数，故可排除D；由图知图象不经过点，而对于C：，故可排除C；故选：B5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为A.-8B.-15C.-20D.-21【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.【详解】满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数经过坐标点A时，函数取得最小值，由解得目标函数的最小值为-20.故选C.【点睛】本题考查线性规划的截距式求最值，属于基础题.6.已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.【详解】.显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.7.如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形，则该几何体的表面积是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，画出直观图，根据球的表面积公式和扇形的面积公式，即可求出结果．【详解】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示．其表面积． 故选：C.8.已知曲线在点处的切线方程为，则（）A.－1B.－2C.－3D.0【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义可知切线斜率为，可得，计算出切点代入切线方程即可得.【详解】由题意可得，根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；所以切点为，代入切线方程可得，解得.故选：C9.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）A.±3B.±4C.±5D.【答案】B【解析】【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出的值．【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以，． 故选：B．10.图，已知正方体的棱长为1，E，F分别是棱，的中点.若点为侧面正方形内（含边界）的动点，且存在使成立，则与侧面所成角的正切值最大为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得平面，设的中点为，连接，，，，作图分析可得点的轨迹为线段，当时，与侧面所成角的正切值最大，计算即得解.【详解】解：存在，，使，，平面，设的中点为，连接，，，，则，平面，不在平面内，所以平面，同理平面，，平面，平面平面，点为侧面正方形内（含边界）动点，且平面，点的轨迹为线段， 正方体的棱长为1，、分别是棱、的中点，,由题得就是与侧面所成角，所以最大，则最小，即.由等面积法得,所以最大值为.故选：D11.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数可得出在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间 这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程所有6个实数根之和为.故选：A.【点睛】本题考查了由可判断关于对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题. 12.已知，是双曲线的左，右焦点，过点作斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，以为圆心的圆过，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】取MN中点A，连AF2，令，由双曲线定义及所给条件可得，再借助直线斜率为即可作答.【详解】取MN中点A，连AF2，由已知令，则，如图：因点M，N为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得，，则，令双曲线半焦距为c，中，，中，，则有，即，因直线的斜率为，即，而，即，，于是有，，，所以双曲线的离心率为.故选：B第II卷（非选择题，共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.已知向量，方满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为______.【答案】【解析】【分析】先利用已知条件求得，接着求解向量的模长，最后根据向量夹角公式求解即可.【详解】因为，，且与的夹角为，所以，所以，，设向量与的夹角为，所以，又因为两向量所成夹角范围为，所以向量与的夹角为，故答案为：.14.某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，表示“抽到的2名成员都是女生”，表示“抽到的2名成员性别相同”，则__________.【答案】##0.6【解析】【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．【详解】由题意可知，， ．故答案为：．15.已知函数的两个相邻的零点之差的绝对值为，且是的最小正零点，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据函数两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据的最小正零点求出，即可求出的值．【详解】令函数，得，所以函数两个相邻的零点之差的绝对值为，即，解得，又因为是的最小正零点，所以，即，所以，，解得，，又，所以，即，所以．故答案为：．16.已知正项数列满足，数列满足，且对任意的恒成立，则下列结论中正确的是__________.①②数列从第二项起是单调递减数列③④【答案】①②【解析】 【分析】首先由题意可得，并判断为递减数列；也为递减数列，即可判断①②的正误；然后由对任意的恒成立可得：，于是构造函数，并利用导数判断其单调性和最值，进而判断的范围，同理可得的最大值一定小于，即可判断③④的正误．【详解】因为为正项数列，得，，，又，则，即，由，得，所以，即，，即，则，所以，，所以为递减数列，也为递减数列，故②正确；因为，，则，又为递减数列，所以，故①正确；由，得，令，则，当时，；当时，，又，若时，取得最大值且为；若时，取得最小值且，所以，而，同理可得的最大值一定小于，所以，故④错误；由④可知，，故③错误． 故答案为：①②．三､解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.华为技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.5686756666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为.（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，，）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：【答案】（1）回归模型②，72.93（亿元）；（2）投入20亿元时，公司的实际收益更大. 【解析】【分析】（1）根据表中数据比较和可判断拟合效果，进而求出预测值；（2）求出，进而求出，得出回归方程得求出结果【详解】解：（1）由表格中的数据，，∴，∴可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数.所以回归模型②的拟合效果更好.所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）.（2）当时，由已知可得，.∴.∴当时，y与x满足的线性回归方程为.当时，科技升级直接收益的预测值为亿元.当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，∴技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.18.已知，，分别为锐角内角，，的对边，．（1）证明：；（2）求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合已知等式可得，再利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可证得结论，（2）由为锐角三角形，结合可求出角的范围，再由（1）得，然后利用余弦函数的性质可求得结果.【小问1详解】证明：∵，∴，由余弦定理得，整理得，即，由正弦定理得，即，，，∵为锐角三角形的内角，或（舍），故．【小问2详解】，，∵为锐角三角形，，，，．，∴，，，即的取值范围是．19.在四棱锥中，为等边三角形，，，点为的中点. （1）求证：平面；（2）已知平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取CD中点M，进而证明平面平面，然后通过面面平行的性质定理得到答案；（2）连接AC交BD于O，根据条件证明AC⊥BD，PO⊥平面ABCD，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的夹角公式求出二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，，∵为中点，∴，而平面，平面，∴平面，又∵为等边三角形，∴∵，，∴，，∴，∵BM,AD共面于平面ABCD,∴，而平面，平面，∴平面，又，∴平面平面，而平面，∴平面.（2）根据条件，连接交于，连接，由对称性知，为中点，且，∵平面平面，且交于BD，∴平面，∵在中，AO⊥OD，AD=2，，则AO=1，， 又PD=2，∴，在正中，∵，∴.以O为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，所以，令x=1，则，，令a=1，则，∴，由图可知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为：.20.已知函数和函数有相同的最大值.（1）求实数的值；（2）直线与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，且.下列两个结论①；②.其中只有一个正确，请选择正确的结论，并证明.【答案】（1）1（2）正确结论②，证明见解析【解析】【分析】（1）分别对，求导，得出，的单调性，求出，的最大值，即可求出实数的值；（2）画出，的图象，设，图象的交点为A，直线经过点A时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，可得，再利用指对同构及的单调性，即可证明． 【小问1详解】的定义域为，且时，无意义，不合题意；时，当时，递减；当时，递增；所以，无最大值，不合题意，时，当时，递增；当时，递减；所以，的定义域为，且，当时，递增，当时，递减；所以所以，又和有相同的最大值，所以，解得，又，所以；【小问2详解】正确结论为②，证明如下：由（1）可知：在递增，在递减，且，在递增，在递减，且，和的图象如图所示：设和的图象交于点A，则当直线经过点A时， 直线与两条曲线和共有三个不同的交点，则，且，因为，所以，即，因为，且在递增，所以，所以，因为，所以，即，因为，且在递减，所以，所以，所以，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值、零点问题，属于难题.利用导数在研究函数性质时，离不开研究函数的单调性，判断单调性的方法是：递减；递增.21.设椭圆过点，且左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，列出a，b，c的方程组，求解作答.（2）根据给定条件，利用共线向量探求出直线的方程，与椭圆的方程联立，求出长，再借助三角代换列出三角形面积的函数关系，求出函数的最大值作答.【小问1详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，解得，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设点的坐标分别为，显然均不为零，依题意，令，有且，又四点共线，从而，即，，于是，从而①，②，又点在椭圆上，即③，④，①+②并结合③，④得，即动点总在定直线上，因此直线方程为， 由消去y得，，设，则，于是，设，则点到直线的距离，其中锐角由确定，因此，当且仅当时取等号，所以的面积最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线和的极坐标方程分别为和和与曲线分别相交于两点（两点异于坐标原点）.（1）求的极坐标方程；（2）求的面积. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程可得曲线的普通方程，再结合极坐标与直角坐标之间的转化运算求解；（2）根据题意结合极坐标的几何意义运算求解.【小问1详解】曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为，整理得，根据，转换极坐标方程为，即.小问2详解】根据题意可设两点的极坐标分别为，则，所以.选修4-5：不等式选讲 23.设函数的最大值.（1）求；（2）已知、、均为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得；（2）求得，利用基本不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，；（2）由（1）可得，，同理可得，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，.【点睛】方法点睛：证明不等式，基本方法如下：（1）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小关系，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：当两个代数式的符号相同时，利用商与的大小关系来判断两个代数式的大小关系；