2023九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数课时2课件（人教版）

22.3实际问题与二次函数九年级上册RJ初中数学第2课时 知识回顾一般地，当a>0，抛物线y=ax2+bx+c有最低点，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，即当时，.当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c有最高点，二次函数y=ax2+bx+c有最大值，即当时，.求函数最值问题的方法有：公式法和配方法，但注意实际问题自变量的取值范围，有必要时结合函数的增减性来求最值. 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.2.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.学习目标 销售问题中的数量关系：(1)销售额=售价×销售量；(2)单件利润=售价-进价；(3)利润=销售额-总成本=单件利润×销售量.课堂导入探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？销售模式：降价或涨价都可以哦！ 新知探究探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式一：涨价销售①每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，则每件商品的利润为(20+x)元，每星期卖出(300-10x)件，所得的利润为y=(20+x)(300-10x),即y=-10x2+100x+6000.知识点 ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格上涨，销量下降，销量不能为负，故300-10x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤30.③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10x2+100x+6000，当x=-=5时，y=-10×52+100×5+6000=6250.即定价为65元时，最大利润是6250元. 探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？模式二：降价销售①每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，则每件商品的利润为(20-x)元，每星期卖出(300+20x)件，所得的利润为y=(20-x)(300+20x),即y=-20x2+100x+6000. ②自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此售价不能低于成本，故20-x≥0，且x≥0,因此自变量的取值范围是0≤x≤20.③涨价多少元时，利润最大，是多少？y=-20x2+100x+6000，当x=-=2.5时,即定价为57.5元时，y=-20×(2.5)2+100×2.5+6000=6125,最大利润是6125元.综合涨价和降价两种情况可知，定价为65元时，利润最大. 求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.常见的销售问题中的数量关系：利润=售价－成本，总利润=每件商品的利润×销量，利润率＝×100%. 求解最大利润问题的一般步骤：(1)建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的图象，利用图象的性质求出. 例为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业.王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，根据题意得解得故y与x之间的函数关系式是y=-0.5x+110.(70,75)(80,70) (2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？(2)设合作社每天获得的利润为w元，由(1)可知游客居住房间数为y=-0.5x+110,则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+110)=-0.5x2+120x-2200=-0.5(x-120)2+5000.因为60≤x≤150，所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(1)请你写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w元与销售价格x元/件之间的函数关系式；解：(1)w=(x-20)[250-10(x-25)]=-10x2+700x-10000.新知探究跟踪训练 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(2)销售价格为多少时，每天的销售利润最大？解：(2)w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250(0≤x≤50)，故当x=35时，w有最大值2250.即销售价格为35元/件时，每天的销售利润最大. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案.方案A：该文具的销售价格高于进价且不超过30元/件.方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元.请通过计算说明哪种方案的最大利润更高. 解：(3)方案A：由题意得w=-10(x-35)2+2250(20<x≤30).因为-10<0，抛物线的对称轴为直线x=35，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，所以当x=30时，w取最大值2000.当对称轴不在定义域内时，则要结合函数图象的增减性来求最值. 方案B：由题意得解得45≤x≤49.由题意得w=-10(x-35)2+2250(45≤x≤49).因为在对称轴(直线x=35)的右侧，w随x的增大而减小，所以当x=45时，w有最大值1250.因为2000>1250，所以方案A的最大利润更高. 1.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100-x)件，应该如何定价才能使利润最大？解：设最大利润为w元则w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225，∵30≤x≤100，∴当x=65时，二次函数有最大值1225，∴定价是65元时，利润最大．随堂练习更多类题练习详见初中《教材帮》数学RJ九上22.3节作业帮. 最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价：要保证销售量≥0；降价：要保证单件利润≥0.确定最大利润利用配方法或公式法求最大值或利用函数图象和性质求出.课堂小结 （2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元/件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；对接中考解:(1)设y与x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0),∴y＝﹣500x+12000； （2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？解：(2)由题意得解得3≤x≤12. 解：（2）设利润为w元，根据题意得，w＝(x-3)y＝(x-3)(-500x+12000)＝-500x2+13500x-36000＝-500(x-13.5)2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大.∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值-500×(12-13.5)2+55125＝54000.答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元. （2020•鄂州中考）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x/（元/件）456y/件1000095009000（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围． 解：(3)根据题意得，w＝(x-3-m)(-500x+12000)＝-500x2+(13500+500m)x-36000-12000m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大.∵捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3.∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．