2023九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数课时1课件（人教版）

九年级上册RJ初中数学22.3实际问题与二次函数第1课时 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.(1)y=x2-4x-5；(配方法)(2)y=-x2-3x+4.(公式法)解：(1)y=x2-4x-5=x2-4x+4-9=(x-2)2-9.开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：(2，-9)；最小值：-9.(2)y=-x2-3x+4中a=-1，b=-3，c=4，a=-1<0，开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：(，)，即(，)；最大值：.知识回顾 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.学习目标 问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h=30t-5t2课堂导入？?最高点(顶点) 解法一：配方法∴t=3时，hmax=45.所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中的最大高度为45m.∵h=30t-5t2=-5(t2-6t)=-5(t-3)2+45， 解法二：公式法所以小球运动时间为3s时，小球最高，小球运动中的最大高度为45m.∵h=30t-5t2 新知探究一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.知识点 例1用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？即S=-l2+30l(0<l<30).S=l(30-l),解：根据题意得因此，当l=-=-=15时，S有最大值==225.也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.矩形周长为60m一边长为lm,另一边长为(30-l)m 例2如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为lm，菜园的面积为Sm2，得(0<l≤18),即S=(0<l≤18).二次函数S=的对称轴为，因为0<l≤18，所以l=18时，S取得最大值，即当矩形的长为21m，宽是18m时，菜园的面积最大，最大面积为378m2.当l<30时，S随l的增大而增大， 注意：实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围进行分析.通过前两道例题的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，并能结合实际问题，判断何时在顶点处取最值.、何时在端点处取最值. 用二次函数解决实际问题的一般步骤：1.审：仔细审题，厘清题意.2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数.3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式.4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题.5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm，花园面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式；(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值.解：(1)由题意得AD=(28-x)m，则S=x(28-x)=-x2+28x(0<x<28).(2)因为S=-x2+28x=-(x-14)2+196，所以当x=14时，S有最大值，最大值是196.跟踪训练新知探究 1.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？解：设直角三角形的一条直角边为x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S．根据题意，得S=x(8-x)(0＜x＜8)，配方，得S=-(x-4)2+8.所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8．随堂练习 2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(1)求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；解：(1)∵花圃的一边AB的长为xm，∴BC=(24-4x)m，∴S=x(24-4x)=-4x2+24x.∵∴0＜x＜6. 解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，∴当x=3时，S最大值=36.2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(2)当x取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？答：当x取3时围成的花圃面积最大，最大面积是36m2． 解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，由(2)知，当x>3时，S随x的增大而减小，∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.答：当x取4时所围成的花圃面积最大，最大面积是32m2．2.如图，在一面靠墙的空地上用长24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为xm，面积为Sm2.(3)若墙的最大可用长度为8m，则花圃的最大面积是多少？ 3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积ym2最大时，AB的长为m.解：∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE.设BC=xm，BE=am，则AE=2am，∴8a+2x=80，∴a=-x+10，3a=-x+30，∴y=(-x+30)x=-x2+30x. ∵a=-x+10＞0，∴x＜40.∵y=-x2+30x=-(0＜x＜40），∴当x=20时，y有最大值，当x=20时，a=-+10=5，∴AB=3a=15(m).3.如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80m的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积ym2最大时，AB的长为m.15 几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依据最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定课堂小结 1.在一个腰长为10cm的等腰直角三角形的内部截一个矩形ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形ABCD面积的最大值是.25cm2解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=10cm，∠E=∠F=45°.∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，∴∠ECD=45°，∴ED=CD.设AD=xcm，矩形面积为ycm2，∴ED=CD=(10-x）cm，y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，∴当x=5时，y取最大值为25．对接中考 解：设窗框的宽为xm，窗框的面积为Sm2，则窗框的高为m，则S=，当x=−=1.2时，S有最大值，此时，窗框的高为=1.8(m).所以当窗框的高为1.8m，宽为1.2m时，这个窗框的面积最大.2.有一条长7.2m的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，窗框的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积) 3.如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(1)若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所利用旧墙AD的长；解：(1)设AB=tm，则BC=(100-2t)m，根据题意得t(100-2t)=450，解得t1=5，t2=45，当t=5时，100-2t=90＞20，不合题意，舍去；当t=45时，100-2t=10.答：AD的长为10m. (2)设AD=xm，∴S=x(100-x)=-(x-50)2+1250，若a≥50，则当x=50时，S的最大值为1250；若0＜a＜50，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a-a2，综上，当a≥50时，S的最大值为1250m2；当0＜a＜50时，S的最大值为(50a-a2)m2．3.如图，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏.(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.本题的素养解读详见初中《教材帮》数学RJ九上第22.3节中考帮.