2023九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程课时3课件（人教版）

21.3实际问题与一元二次方程九年级上册RJ初中数学第3课时 1.审清题意2.设未知数3.列方程4.解方程验根5.作答列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：知识回顾 1.会用面积法建立一元二次方程数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.学习目标 如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？分析：封面的长宽之比是27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是9acm和7acm.新知探究所以上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是.知识点 解：设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm.依题意得(27-18x)(21-14x)=×27×21,解得x1=（不符合题意，舍去），x2=所以上、下边衬的宽均为9×≈1.8cm，左、右边衬的宽均为7×≈1.4cm. 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？请你试一试．解：设正中央矩形的长为9xcm，则宽为7xcm.依题意得9x·7x=×27×21,解得=,=-(不合题意，舍去)，故上、下边衬的宽均为=≈1.8(cm),左、右边衬的宽均为==≈1.4(cm). 设未知数的方法直接设元法:题中问什么就设什么，即直接设待求量为未知数，如探究中的第一种设法.间接设元法：设待求量之外的量为未知数，将待求量用含未知数的代数式表示,如探究中的第二种设法. 例1如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？30m24m新知探究跟踪训练 解：设人行通道的宽为xm，将两块矩形绿地合在一起，长为(30-3x)m，宽为(24-2x)m，列方程，得(30-3x)(24-2x)=480，整理，得x2-22x+40=0，解得x1=2，x2=20，当x=20时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，所以x=2，即人行通道的宽为2m.30m24mxxxxx30-3x24-2x 例2如图,在一面靠墙(墙的最大可用长度为10m)的空地上用长为24m的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米？AB10DCxxx解：设AB=xm，整理，得x2-8x+15=0，解得x1=3，x2=5，当x=3时，24-3x=15>10，不合题意，舍去.答：AB的长为5m.24-3x则BC=（24-3x）m,由题意得x(24-3x)=45， 例3如图,在△ABC中,∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度在边BC上运动(不与点B,C重合)，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度在边AC上运动(不与点A,C重合)，P，Q两点同时出发，运动时间为ts.ABCQP(2)请问△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.(1)当t为何值时，△PCQ的面积是△ABC面积的？ (1)当t为何值时，△PCQ的面积是△ABC面积的？故S△PCQ=cm2，又S△ABC=×4×8=16(cm2)，解：(1)由题意知，CP=tcm，AQ=2tcm，AC=8cm，则CQ=AC-AQ=(8-2t)cm，ABCQP当=16×时,整理,得t2-4t+4=0,解得t1=t2=2，又CP<CB，AQ<AC，所以t<4，所以t=2满足题意，故当t=2时，△PCQ的面积是△ABC面积的 解：(2)当S△PCQ=S△ABC时，=16×，(2)请问△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由.整理，得t2-4t+8=0，此时Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×8=-16<0，所以此时方程没有实数根，所以△PCQ的面积不可能为△ABC面积的一半. 2032xx解法一：设道路的宽为x米，1.如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少.整理，得x2-52x+100=0，解得x1=2，x2=50，当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.所以x=2.答：道路的宽为2米.还有其他解法吗？随堂练习则由题意得20×32-32x-20x+=540, 2032xx解法二：设道路的宽为x米，则由题意得20-x32-x(32-x)(20-x)=540，整理，得x2-52x+100=0，解得x1=2，x2=50，当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.所以x=2.答：道路的宽为2米.如图，在一块宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少. 2.一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2.求两条直角边的长．解：设一条直角边的长为xcm，则另一条直角边的长为(14－x)cm，由题意得x(14－x)＝24，整理，得x2－14x＋48＝0，解得x1＝6，x2＝8.当x＝6时，14-x＝14-6＝8；当x＝8时，14-x＝14-8＝6.所以两条直角边的长分别为8cm和6cm. 3.如图，矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB边向点B移动，点Q以2cm/s的速度沿CD边向点D移动.（当点P到达点B时，Q也停止移动）(1)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？(2)P，Q两点从出发开始，经过几秒时，点P和点Q的距离为10cm？ABCQPD 解：(1)设经过xs时，四边形PBCQ的面积为33cm2，依题意得×6×(16-3x+2x)=33，解得x=5，所以经过5s时，四边形PBCQ的面积为33cm2.(2)设经过ys时，点P和Q的距离为10cm，依题意得62+(16-3y-2y)2=102，整理得25y2-160y+192=0，解得y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，所以经过1.6s或4.8s时，点P和Q的距离为10cm. 几何图形与一元二次方程问题等量关系几何图形面积公式类型小路宽度问题动态几何问题常采用图形平移，聚零为整方便列方程.课堂小结课本封面问题围墙问题 1.在长为160m，宽为100m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为13500m2，求这种方案下的道路的宽为多少.解：设道路的宽为x米，(160-x)(100-x)=13500，可列方程为整理，得x2-260x+2500=0，解得x1=10，x2=250(不合题意，舍去)，所以x=10，即道路的宽为10米.对接中考160x100160-xx100-x 2.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？对接中考121m 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm，则平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m，由题意得x(25-2x+1)=80，化简得x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8，当x=5时，26-2x=16>12(舍去)；当x=8时，26-2x=10<12，符合题意.答：所围猪舍的长为10m，宽为8m时，面积为80m2.121mx25-2x+1x-1 3.(2020·山西中考)如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为cm．底面12cm10cm 解：设剪去的正方形的边长为xcm，则制成的长方体铁盒的底面的长为(10-2x)cm，宽为(6-x)cm.依题意，得(10-2x)(6-x)=24，整理，得x2-11x+18=0，解得x1=2或x2=9，∵x＞0,10-2x＞0,6-x＞0，∴0<x<5，∴x=9不符合题意，故舍去.故剪去的正方形的边长为2cm．