2023八年级数学上册第十三章轴对称13.1轴对称第3课时课件（人教版）

13.1.2线段的垂直平分线的性质轴对称八年级上册RJ初中数学 1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？2.什么是线段的垂直平分线？线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.知识回顾 1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定.2.探究线段垂直平分线的性质和判定的证明过程.3.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题.学习目标 如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,点P1,P2,P3,…到点A和点B的距离有什么关系呢？我通过测量发现点P1,P2,P3,…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等.ABlP1P2P3课堂导入 如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到点A和点B的距离,你有什么发现?ABlP1P2P3我把线段AB沿着直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等. 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点1线段的垂直平分线的性质符号表示：如图,直线l⊥AB,垂足为C，AC=BC，点P在l上，则有PA=PB.ABlCP你能证明这个性质吗？新知探究 如图,直线l⊥AB,垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证：PA=PB.ABlCP证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB.又AC=BC，PC=PC，∴△PAC≌△PBC（SAS）.∴PA=PB. ABP如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等.求证：点P在线段AB的垂直平分线上.反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 证明：过点P作直线l，使得l⊥AB，垂足为O.∵l⊥AB，∴∠POA=∠POB=90°.在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA=PB，PO=PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）.∴AO=BO.∵AO=BO，∠POA=∠POB=90°,∴点P在线段AB的垂直平分线上.ABPlO 线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.知识点2线段的垂直平分线的判定符号表示：如图，已知线段AB，∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.ABlOP线段垂直平分线相关的判定方法总结详见《教材帮》RJ八上13.1轴对称方法帮.新知探究 例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C(如图).求作：AB的垂线，使它经过点C.ABC.知识点3尺规作图新知探究 ABCDEK作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁；（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. FABCDEK例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 直观上我们感觉两个平面图形是成轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 例2如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A,B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.AB 作法：如图所示：（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧线相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD就是所求作的直线.ABCD例2如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的依据如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确. 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；②连：连接这对对应点；③作：作出对应点所连线段的垂直平分线. 如图，直线AE是线段BC的垂直平分线，垂足为E，D为AE上一点，求证：∠ABD=∠ACD.证明：∵AE是线段BC的垂直平分线，D为AE上一点，∴AB=AC，BD=DC.在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ABD=∠ACD.EBCDA跟踪训练新知探究 1.如图,AD⊥BC,BD=DC,点C在AE的垂直平分上,AB,AC,CE的长度有什么关系?AB+BD与DE有什么关系?解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE，AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.CBDAEAD为BC的垂直平分线随堂练习 2.如图，在△ABC中，AB=5cm，BC的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，△ACD的周长为8cm，求线段AC的长.解：∵DE为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD.∴△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8cm.∵AB=5cm，∴AC=3cm.BCEDA 3.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.ADEBC证明：连接DB.∵AB=AD，BC=DC,∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴AC是线段BD的垂直平分线.∵E是AC上的一点，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，∵AB=AD，BE=DE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE.∴∠ABE=∠ADE. 线段的垂直平分线性质判定尺规作图线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上画一个轴对称图形或成轴对称图形的对称轴课堂小结 (2020·十堰中考)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平线．若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长为．CDBAEEC=3AB+AD+BD=13AC=6AB+BD+DC=13AB+BC+CA=1919拓展训练