13.1 轴对称

轴对称轴对称1 2 3 4 5 欣赏前面的图片图片之后，请大家想一想这些图片有什么共同特征？6 要仔细观察哦！看一看7 8 如果________沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够_________,这个图形就叫做____________.这条直线就是它的__________.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。对称轴一个图形互相重合轴对称图形对称轴对称轴轴对称图形轴对称图形轴对称定义mn9 1.判断下面的图形是不是轴对称图形.小试牛刀不是是不是是是是不是是10 线段、角、正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形和圆都是轴对称图形。下面的图形是不是轴对称图形?练一练：11 2、下面的图形是轴对称图吗？如果是,你能指出它的对称轴吗?12 动手画出图形的对称轴长方形13 动手画出图形的对称轴正方形14 动手画出图形的对称轴圆有的轴对称图形有不止一条对称轴。15 图形形状是否轴对称图形对称轴的数量(条)长方形正方形平行四边形等腰三角形圆形是是是是不是241无数-------常见图形16 练一练：1、下面的数字、字母和汉字中，哪些是轴对称图形？0694AFDG中由用甲工月田水04AD中由甲工田17 18 刚才我们研究了一个图形具有轴对称的特征，你想不想看看两个图形是否也具有这样的特征呢？请大家仔细观察　！一个图形两个图形你观察到了什么？A′ABCC′19 定义1.把_______沿着某一条直线折叠,如果它能够与_____图形____,那么就说这两个图形______________或者说这两个图形成轴对称。2.同样,我们把这条直线叫做______.3.折叠后重合的点是对应点,叫做______.一个图形另一个重合关于这条直线对称对称轴对称点20 A′ABCB′C′m12把图1沿直线m折叠后图1可以与图2重合我们就说：1、图1、图2关于直线m对称2、m为对称轴3、A’.B’.C’分别是A.B.C的对称点21 轴对称图形两个图形成轴对称区别＿个图形＿个图形联系１．沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够＿＿＿＿．２．都有＿＿＿＿．３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线＿＿＿；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是＿＿＿＿．一两互相重合对称轴对称轴对称图形比较：22 1.成轴对称的两个图形全等吗?()全等的两个图形一定成轴对称吗?()2.如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形全等吗?()这两个图形对称吗?()全等全等对称不一定想一想23 下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称吗?如果是,试着找出它们的对称轴,并找出一对对应点.喜喜练习:24 如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，若AB=2cm，∠C=55°，则DE=，∠F=。aABCFED2cm55°如图，△ABC与△DEF关于直线a对称，若AB=2cm，∠C=55°，则DE=，∠F=。做一做：aABCFED25 反思小结主要围绕下列几个问题：轴对称图形，两个图形关于某条直线成轴对称，对称轴，对称点。26 MN⊥AA’于PAP=A’P1、图中的对称点有哪些？2、点Ａ和A’的连线与直线MN有什么样的关系？思考？图中的两个三角形关于直线MN对称直线MN垂直且平分线段AA’定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。MNABCA’C’B’PQG27 通过前面的研究我们就可以得到图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线。类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．28 前面的两个性质可以简单的概括为：对应点的连线被对称轴垂直平分。如果我们感觉一个图形是轴对称图形，我们如何验证呢？不折叠图形你能准确地得出它的对称轴吗？思考AA’作出一对对称点的垂直平分线，就得到它的对称轴。29 现给出对称图形的一半你能否做出另外的部分？思考？B'C'A'FEDACB30 下面我们来探究线段垂直平分线的性质猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…能用我们已有的知识来证明这个结论吗？P3ABlP2P1l是AB的垂直平分线，观察P1A和P1B，P2A和P2B，P3A和P3B之间的关系？31 求证：线段垂直平分线上得点到这条线段两端的距离相等BACPl同学们能不能根据这幅图用符号语言来描述这个命题并给予证明呢？32 转化成数学语言：已知：直线m是线段AB的垂直平分线，P为线段AB上的任意一点；求证：PA=PB.证明：利用判定两个三角形全等．∵m是AB的垂直平分线，P在m上∴PC⊥AB,AO=BO∴∠AOP=∠BOP=90°在△APO和△BPO中，∴△APO≌△BPO(SAS)∴PA=PB.PO=PO∠AOP=∠BOPAO=BO结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．ABPlC33 理解了吗？1、因为AD为BC的中垂线，所以。理由：AB＝AC线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．BCAD2、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线ABMND①②③34 例题如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。DCBEA解：∵ED是线段AB的垂直平分线∴∵△BCD的周长=BD+DC+BC∴△BCD的周长===BD=ADAD+DC+BCAC+BC12+7=1935 习题1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ADBEC证明：∵AD⊥BCBD=DC∴AD在线段BC的垂直平分线上∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE又AB=AC∴AB=AC=CE∵AB=AC=CE又BD=CD∴AB+BD=CE+CD=DE36 2、如下图△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC37 解:38 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。AEDBC39 总结本节课我们学习了：1、垂直平分线2、图形轴对称的性质3、中垂线的性质40 如下图△ABC中，AC=16cm，AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长。AEDBC线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．41 思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．42 通过探究我们可以得到定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上数学语言：已知：PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上。ABP43 从上述两个结果可以看出,即：与两点A、B的距离相等的点l上．在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；反过来，所以线段AB的垂直平分线l可以看成与线段两点A、B距离相等的所有点的集合．lCABP44 习题如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ADBEC证明：∵AD⊥BCBD=DC∴AD在线段BC的垂直平分线上∴AB=AC∵点C在AE的垂直平分线上∴AC=CE又AB=AC∴AB=AC=CE∵AB=AC=CE又BD=CD∴AB+BD=CE+CD=DE45 习题，如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？证明：∵AB=ACBM=MCAM=AM∴△ABM≌△ACM（SSS）∴∠BAD=∠CAD又AB=ACAD=AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠BMD=∠CMD且BD=DC∴AD在BC的垂直平分线上∴直线AM是BC的垂直平分线DBCAM46 证明：∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上∵BM=MC∴点M在线段BC的垂直平分线上又两点确定一条直线（过两点有且只有一条直线）∴直线AM为线段BC的垂直平分线习题2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？DBCAM答：是47 ABCD例点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于C、D两点。（2）作直线CD，CD即为所求的直线48 EDCAB（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于C点。（2）分别以A、B为圆心，以大于AB且不等于AC的长为半径做弧，两弧相交于D点。（3）作直线CD，CD交AB于E，CD即为所求的直线49 NMEA'AC'BC五角星的对称轴50 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个C51 解:52 4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90，DE是AB的垂直平分线，连接AE，∠CAE：∠DAE=1：2，求∠B的度数。AEDBC53 某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。NMOBA54 变式训练：某地有两所大学和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定该点。NMOBA55 如图：请找出一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P在∠ACB的平分线上。CBA56 如图，E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D。求证：OE为CD的垂直平分线。EDBACO57