四川省眉山市仁寿第一中学北校区2022-2023学年高二文科数学下学期5月期中试题（Word版附解析）

仁寿一中北校区高二下期中考试数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，60分）1.复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求复数的代数形式，根据共轭复数的定义求，根据复数的几何意义确定在复平面上的对应点的坐标，由此确定其象限.【详解】因为，所以，所以在复平面上的对应点的坐标为，点位于第三象限.故选：C.2.已知函数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】.故选：A.3.如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为．故选：B.4.已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以.故选：D.5.已知复数是关于x的方程的一个根，则（）A.4B.C.8D.【答案】D【解析】【分析】利用代入法，结合复数模计算公式进行求解即可.另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，所以，解得，所以；另解：因为复数是关于x的方程的一个根，所以复数也是关于x的方程的一个根，所以有 解得，所以.故选：D6.如图所示的程序框图，能使输入的值与输出的值相等的值个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题得函数的解析式为，再分类讨论解方程求出的值即可求得结果.【详解】由题意可知，函数的解析式为.当时，，令，即，解得或，均合乎题意；当时，，令，即，解得，合乎题意；当时，，令，即，解得，舍去；综上所述，的取值为、或.故选：C. 7.某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A中位数70B.众数75C.平均数68.5D.平均数70【答案】D【解析】【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.【详解】频率为因为最高小矩形的中点横坐标为，显然众数是75，故B正确；的频率是0.1，的频率是0.15，的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；平均数，所以C正确.故选:D.8.如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的图象可知其单调性情况，再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数的图象可知，函数的单调性为：增—减—增—减，故导函数的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数的图象可能是选项A.故选：A【点睛】本题考查导函数与原函数的关系，考查识图能力，属于基础题．9.已知函数．则下列结论中正确是（）A.函数既有最小值也有最大值B.函数无最大值也无最小值C.函数有一个零点D.函数有两个零点【答案】C【解析】【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.【详解】，，，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数有最大值，无最小值，AB错误，设，则恒成立，函数单调递增，且，故函数有一个零点，C正确，D错误.故选：C10.已知函数，以下判断正确的是（）①有两个极值点；②有三个零点；③点是曲线的对称中心. A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】C【解析】【分析】求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足的关系式即可判断③.【详解】由得，令得，且当和时，，当时，，所以均是的极值点，故有两个极值点，故①正确，由①知，是的极大值点，且，，所以只有一个零点，故②错误，又，所以，故点是曲线的对称中心，所以③正确，故选:C11.已知函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性与单调性，将不等式变形为，根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，,所以，函数为奇函数；，所以函数在上单调递增， 因为，所以，所以，，解得.故选：A.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.12.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；构造函数，由及单调性可得，则可得.【详解】构造函数，，则，得在上单调递减，又，则，即.构造函数，则.令，则在上单调递增.又注意到，，则，即. 故，即.综上所述，.故选：A【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.二、填空题（共4小题，2分）13.在极坐标系中，点，，则线段的长为______.【答案】【解析】【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段的长即可．【详解】由已知，，线段的长为．故答案为：．14.某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为的样本，将数据按分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则__________，要从日支出在的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在中被抽取的人数为__________．【答案】①.##②.2【解析】 【分析】根据频率之和为1可求得a的值，再运用分层抽样中抽样比不变可求得结果.【详解】因为，所以，又因为内和内的样本个数比例为，根据分层抽样可知，日支出在中被抽取的人数为，故答案为：；2.15.一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．【答案】60【解析】【分析】根据，利用导数法求解.【详解】解：因为，所以，，令，得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，故答案为：6016.若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______【答案】e【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．【详解】解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，）， 与曲线C：g（x）＝切于点（，），∴2，化简可得，2，∴∵2，a，设h（x）（x＞0），则h′（x），∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（），∴实数a的的最大值为e，故答案为e．【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．三、解答题（共6小题，17题10分，18-22，每题12分，共70分）17.网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式.为了调查每周网络购物的次数和性别的关系，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的列联表如下：10次及10次以上10次以下总计男性322052女性43548总计7525100（1）从这100位市民中随机抽取一位，试求该市民为每周网络购物不满10次的男性的概率；（2）请说明能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？（已知） [参考公式：（其中）]【答案】（1）（2）能在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．【解析】【分析】（1）由列联表和古典概率公式可得所求值；（2）计算出卡方，即可判断．【小问1详解】由列联表可得，每周网络购物不满次的男性的概率；【小问2详解】由题意可得，，故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．18.设（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数的极大值为，求函数在上的最小值．【答案】（1）单调递增区间为和；（2）.【解析】【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值.【小问1详解】，由得或，所以的单调递增区间为和；【小问2详解】由Ⅰ知函数在处取得极大值，即，得 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上的最小值为．19.已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的球标号为b.记“”为事件A，①求事件A的概率；②在区间内任取2个实数x，y，求事件“”恒成立”的概率.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）由可得答案；（2）①用列举法和古典概型概率的计算公式可得答案；②事件B等价于恒成立，可以看做平面中的点，由几何概型可得答案.【详解】（1）依题意，所以；（2）①将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A，B，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：共12种，事件A包含4种：，所以；②因为的最大值为4，所以事件B等价于恒成立，可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域，事件B所构成的区域，则.20.已知函数． （1）若在上单调递增，求的取值范围．（2）求的单调区间.【答案】（1）（2）答案见详解【解析】【分析】（1）求导，分和讨论可得；（2）根据（1）中结论可得单调区间.【小问1详解】的定义域为，，当时，，在单调递增，满足题意；当时，令，解得（舍去）或，要使在上单调递增，则，所以.综上，的取值范围为.【小问2详解】由（1）可知，当时，在单调递增，当时，在单调递增，令，解得，在单调递减.综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.21.如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图： （1）依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系?（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.相关公式：回归方程中，，.【答案】（1）0.95，可用线性回归模型拟合与的关系（2），40.3（吨）.【解析】【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与比较，即可判断可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当时值，即为预测值．【小问1详解】，，因为，，， 所以，所以可用线性回归模型拟合与的关系.【小问2详解】∵，，，∴.∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程可得，，∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.22.已知函数，（，为自然对数的底数）.（1）求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，无极小值（2）【解析】【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到 的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.【小问1详解】定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.【小问2详解】由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，则实数的取值范围为.【点睛】 关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.