安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高二数学下学期期中检测试卷（Word版附解析）

合肥七中2022-2023学年第二学期高二年级期中检测数学试卷注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.请考生将答案写在答题卷上，写在试卷上无效.3.请考生在答题卷规定的位置写班级，姓名和考号，交卷时只交答题卷，试卷无须上交.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的切线方程即可.【详解】由题意可得：，则曲线的斜率为，切线方程为：，即.本题选择A选项.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.2.数列的通项公式为，则的第5项是A.13B.C.D.15【答案】B【解析】【详解】分析:把n=5代入，即得的第5项.详解：当n=5时，=-13.故选B.点睛：求数列的某一项，只要把n的值代入数列的通项即得该项.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 3.函数有极值的充要条件是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】因为，所以，即，应选答案C．4.若函数在处取得极值，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数，由题设可得，从而可求，注意检验.【详解】因为，所以，又函数在处取得极值，所以，即．此时，当或时，，当时，，故是极大值点，故符合题意．故选：D．5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 依题意可得，，，，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.6.若数列满足，，则的值为A.2B.-3C.D.【答案】B【解析】【详解】，，所以故数列是以4为周期的周期数列，故故选B.7.已知数列前项和，则的通项公式（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【详解】令，则，解得，当时，，则，即，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．故选：C．8.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得　　A.78石B.76石C.75石D.74石【答案】A【解析】【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案．【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，所以，所以，解得石．甲应该分得78石．故选A．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分）9.如图是导数的图象，下列说法正确的是（）第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 A.为函数的单调递增区间B.为函数的单调递减区间C.函数在处取得极大值D.函数在处取得极小值【答案】AB【解析】【分析】根据原函数与导函数图象的关系及极值的定义一一判定即可.【详解】对于A、B选项，由导函数的图象可知上导函数为正，上导函数为负，故A、B正确；对于C、D选项，由导函数的图象可知处导函数不为零，在处导函数为零，其左侧导函数为正号，右侧导函数为负号，故处应取得极大值，故C、D选项错误.故选：AB10.（多选）等差数列是递增数列，且，前项和为，则（）A.B.C.当时，最小D.当时，的最小值为8【答案】AD【解析】【分析】先求得，结合数列的单调性判断AB选项的正确性，结合二次函数的性质、一元二次不等式判断CD选项的正确性.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，即．又由等差数列是递增数列，可知，则，故A正确，B错误；第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 因为，由，可知当或时最小，故C错误；令，解得（舍去）或，即时的最小值为8，故D正确．故选：AD．11.若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　A.2B.1C.0D.【答案】BCD【解析】【分析】数形结合考查两个函数的图象只有一个交点，因为两函数图象都过原点，则求函数过原点的切线．【详解】解：函数的导数为；所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；故选：BCD【点睛】本题考查数形结合思想，考查函数零点，函数的切线的求法；属于基础题．12.已知函数，则以下结论正确的是（）第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 A.在上单调递增B.C.方程有实数解D.存在实数，使得方程有4个实数解【答案】BCD【解析】【分析】对于A项，利用导函数计算即可判定，对于B项，通过求导判定函数单调区间，再比较自变量即可；对于C项，求导判定函数的极值再数形结合即可判定，对于D项，分类讨论，分离参数求导函数及数形结合即可判定.【详解】由，显然当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，故A错误；对于B项，易知，由在上单调递增可知B正确；对于C项，由上知处取得极小值，而，故C正确，如图所示；对于D项，，即，当，显然成立，即是其一根，当时，原方程等价于，令，令，解得，即在上单调递减，令，解得或时，即在和上单调递增，故在处取得极大值，在处取得极小值，，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 又时，，可得的大致图象，如图所示，当时，有三个不同的根，且均不为零，综上所述D正确；故选：BCD三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13.已知，若三个数成等差数列，则__________.【答案】5【解析】【分析】由等差中项即可求解.【详解】由等差中项可得，所以，故答案为：514.函数在点处的切线方程为，则_____，____.【答案】①.②.【解析】【分析】由题得，由导数的几何意义可得，解方程组即得解.【详解】由题得，由导数的几何意义可得，即，，所以.故答案为：(1).(2).【点睛】本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.已知数列为等差数列，为数列的前项和，若，，则的取值范围是_______.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】根据等差数列的通项公式列不等式组，将表示为的线性和的形式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，设，由解得，两式相加得，即的取值范围是.【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式，考查等差数列前项和公式，考查取值范围的求法，属于中档题.16.若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．【详解】由题意可得：函数f（x）＝x3﹣3x，所以f′（x）＝3x2﹣3．令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1），1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，联立解得：﹣2≤a＜1．故答案为[﹣2，1）．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数在处取得极值．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程．【答案】（1）是极大值，是极小值；（2）；【解析】【详解】试题分析：（1）先求出函数的导数，由函数在处取得极值，则得到关于的方程组，求出，可以得到函数的解析式，再去判断函数的单调性，从而得出函数的极大值与极小值；（2）点不在曲线上，先设切点坐标，然后写出切线的方程，再根据点在切线上，得到关于的方程，求出，从而得出切点坐标和切线方程；试题解析：（1），依题意得，，即解得．，．令，得．若，则，故在上是增函数，在上是增函数．若，则，故在上是减函数．是极大值；是极小值．（2）曲线方程为．点不在曲线上．设切点为，则点M的坐标满足．，故切线的方程为．注意到点在切线上，有化简得，解得，因此切点为，切线方程为．考点：导数的应用；18.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式（2）若数列是等差数列，且，，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）当时，求得，当时，递推作差得，即，得到数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）求得，得到，利用分组求和，即可求解．【详解】（1）当时，，所以，当时，因为，所以，两式作差得，即，因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；（2）令，则，，所以数列的公差，故，所以，所以.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，以及数列的“分组求和”的应用，其中解答中根据数列的通项和前n项和之间的关系，求得数列的通项公式，再利用等差、等比数列的前n项和公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．19.一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T（单位：℃）与时间t（单位：min）之间的关系由函数给出．（1）判断的正负，并说明理由．（2）的实际意义是什么？如果，你能画出函数在时图象的大致形状吗？【答案】（1）负（2）第三分钟的水温，平均每分钟下降【解析】【分析】（1）利用导函数的意义解释即可.（2）根据图像过，即可画出大致图象.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）因为的意义为在附近函数值的瞬时变化率，热红茶的温度随时间的增加而减小，故，的符号为负.（2）的实际意义表示在第三分钟附近红茶的温度约以每分钟速率下降.函数的图象过，，大致图象如下：20.已知数列满足，.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）令，求数列前项和【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式.（2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和.【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得：，则，又故是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，故（2）由（1）知第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.21.正项数列的前n项和Sn满足：(1)求数列的通项公式；(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】（1）因为数列前项和满足：，所以当时，，即解得或，因为数列都是正项，所以，因为，所以，解得或，因为数列都是正项，所以，当时，有，所以，解得，第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 当时，，符合所以数列的通项公式，;（2）因为，所以，所以数列的前项和为：，当时，有，所以，所以对于任意，数列的前项和.22.已知函数（1）求的单调区间和极值；（2）若对任意，成立，求实数m的最大值．【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值（2）4【解析】【分析】（1）求导，再根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可求出极值；（2）对任意，成立，即恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得解.第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司 【小问1详解】由，得，令，得；令，得，∴的单调增区间是，单调减区间是，故在处有极小值，无极大值；【小问2详解】由及，得恒成立，令，则，由，由，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，因此，所以m的最大值是4．第15页/共15页学科网（北京）股份有限公司