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安徽省合肥市六校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析)

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合肥六校联盟2022-2023学年第二学期期中联考高二年级数学试卷(考试时间:120分钟满分:150分)命题学校:合肥三中命题教师:赵蔓审题教师:张丽一、选择题(本题共8小题,每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知等差数列前15项和为45,若,则()A.16B.55C.-16D.35【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质知,,进而可得答案.【详解】依题意,,所以,所以.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,熟练掌握公式以及性质是解题关键,属于基础题.2.设在处可导,则(  )A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】变形,结合导数的定义,计算出结果.【详解】因为在处可导,由导数的定义可得:,所以,.故选:A.3.已知等比数列{},且,则的值为(  )A.3B.C.±D. 【答案】B【解析】【分析】求出公比,再根据等比数列的通项公式即可得解.【详解】设公比为,因为,所以,所以,所以.故选:B.4.已知数列满足,,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】计算出的前四项的值,可得出,由此可求得的值.【详解】因为数列满足,,,,,,由上可知,对任意的,,.故选:B.5.设函数,是的导数,则函数的部分图像可以为()A.B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出,利用函数奇偶性定义得到为奇函数,排除BC选项,进而利用时,排除D选项.【详解】因为,所以,定义域为R,且,所以为奇函数,所以排除BC选项,又,∴,所以排除D选项,故选:A.6.5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同安排方法共有()A.60种B.90种C.150种D.240种【答案】C【解析】【分析】先将5名同学分为3组,再将分好的三组安排到3个小区,利用分步乘法计算原理求出.【详解】根据题意,分2步进行分析:①将5名同学分为3组,若分为1,2,2的三组,有种分组方法,若分为1、1、3的三组,有种分组方法,则有种分组方法,②将分好的三组安排到3个小区,有种情况,则有种不同的安排方法, 故选:C.7.定义为个正数的“均倒数”,若已知数的前项的“均倒数”为,又,则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用“均倒数”的定义,求得的表达式,代入,利用裂项求和法求得所求的数值.【详解】根据“均倒数”的定义,有,故,故,,两式相减得,当时,也符合上式,故.所以,注意到,故,故选C.【点睛】本小题考查新定义概念的理解,考查数列求和方法中的裂项求和法,考查运算求解能力.属于中档题.8.已知函数,若函数有个不同的零点,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与图象有个不同交点,利用导数可求得时的单调性和最值,由此可得的图象,采用数形结合方式可求得的取值范围.【详解】若有个不同零点,则与有个不同交点; 当时,,则,当时,;当时,;上单调递增,在上单调递减,,又当时,恒成立,,由此可得与大致图象如下图所示,由图象可知:当,即时,与有个不同交点;实数的取值范围为.故选:C.【点睛】方法点睛:已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.下列选项正确是(  )A.,则B.,则C.D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函数的导数及导数的运算法则求解即可. 【详解】对于A,,则,故A错误;对于B,,则,,故B正确;对于C,,故C正确;对于D,,故D错误.故选:BC.10.关于的二项展开式,下列说法正确的是()A.二项式系数和为128B.各项系数和为C.项的系数为D.第三项和第四项的系数相等【答案】AC【解析】【分析】对于A,根据二项式系数和为即可判断;对于B,赋值法即可判断;对于C,根据通项为,取计算即可判断;对于D,根据第三项的系数为,第四项的系数为,即可判断.【详解】由题知,中二项式系数和为,故选项A正确;将代入二项式中可得各项系数和为,故选项B错误;在中,第项,取,即,所以,所以项的系数为,故选项C正确.在中,根据得第三项的系数为,第四项的系数为,因为,所以选项D错误; 故选:AC.11.设等差数列的前n项和为Sn,公差为d.已知,S12>0,,则(  )A.B.C.Sn<0时,n的最小值为14D.数列中最小项为第7项【答案】ABD【解析】【分析】求得的正负情况判断选项A;求得公差的取值范围判断选项B;求得Sn<0时,n的最小值判断选项C;求得数列中最小项判断选项D.【详解】等差数列的前n项和为Sn,首项为,公差为d.由S12>0,可得,则又,则,则选项A判断正确;由,S12>0,,可得,解之得,则选项B判断正确;由可得或(舍)由,可得,则Sn<0时,n的最小值为13.则选项C判断错误;由时,,时,,时,,时,,可得时,,,,时, 二次函数开口向下,过原点,对称轴则在时,单调递减,且又时,为递减数列,为递增数列,为递减数列则在时,数列为递增数列,则时取得最小值.则数列中最小项为第7项,则选项D判断正确.故选:ABD12.已知函数f(x)满足xf'(x)+f(x)=1+lnx,f(1)=2.则当x>0时,下列说法中正确的是()A.f(2)=ln2+1B.x=2是函数f(x)的极大值点C.函数y=f(x)-x有且只有一个零点D.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立【答案】AC【解析】【分析】通过函数f(x)满足xf'(x)+f(x)=1+lnx,可以求出,进而可以分析函数f(x)的极大值点,求解f(2)的值,判断选项;对函数y=f(x)-x,求导求零点,从而可以判断选项;使用隔离参数法将k隔离之后,令,从而可以判断D选项;【详解】因为xf'(x)+f(x)=1+lnx,则,,则x∈(0,2)时,f(x)单调递减;x∈(2,+∞)时函数f(x)单调递增.∴函数f(x)只有一个极小值点e,即只有一个极小值f(2)=ln2+1,故选项A正确,选项B错误;,则,所以当x→0时,y→+∞,当x=e时,所以函数y=f(x)-x有且只有一个零点,故选项C正确;f(x)>kx,可得,令,则,令,则, 故x>1时h(x)单调递减,0<x<1时,h(x)单调递增,所以h(x)≤h(1)<0,所以g(x)在x>0上单调递增,无最小值,所以不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立,故选项D错误;故选:AC.三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】【分析】求得的导数,可得切线的斜率和切点坐标,由点斜式方程可得所求切线方程.【详解】因为,得,则,所以切线的方程为,即.故答案为:.14.二项式的展开式中的项的系数为___________.【答案】【解析】【分析】先求出含,的项,再与对应乘积即可得答案.【详解】展开式的通项为,,所以当时,,当时,,所以二项式的展开式中含项的系数为.故答案为:.15.如图,一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域,现有4种不同的颜色供灯带使用,要求在每块灯带里选择1种颜色,且相邻的2块灯带选择不同的颜色,则不同的信号总数为___________. 【答案】84【解析】【分析】按照使用了多少种颜色分类计数,再根据分类加法计数原理可得结果.【详解】按照使用了多少种颜色分三类计数:第一类:使用种颜色,有种;第二类:使用种颜色,必有块区域同色,有种;第三类:使用种颜色,必然是与同色,且与同色,有种,所以不同的信号总数为种.故答案为:84.16.已知数列满足,定义使()为整数的k叫做“幸福数”,则区间内所有“幸福数”的和为_____.【答案】2036【解析】【分析】先用换底公式化简之后,将表示出来,找出满足条件的“幸福数”,然后求和即可.【详解】当时,,所以,若满足为正整数,则,即,所以在内的所有“幸福数”的和为:,故答案为:2036. 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤)17.为等差数列的前项和,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)求,并求的最小值.【答案】(1);(2),时,的最小值为.【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及前项和公式求出,,代入通项公式即可求解.(2)利用等差数列的前项和公式可得,配方即可求解.【详解】(1)设的公差为,由,,即,解得,所以.(2),,所以当时,的最小值为.18.设是函数的一个极值点,曲线在处的切线斜率为8.(1)求的单调区间;(2)若在闭区间上的最大值为10,求的值.【答案】(1)单调递增区间是和,单调递减区间是(2)4【解析】 【分析】(1)求导后,根据求出,再利用导数可求出单调区间;(2)根据(1)中函数的单调性求出最值,结合已知的最值列式可求出结果.【小问1详解】,由已知得,得,解得.于是,由,得或,由,得,可知是函数的极大值点,符合题意,所以的单调递增区间是和,单调递减区间是.【小问2详解】由(1)知,因为在区间上是单调递减函数,在上是单调递增函数,又,所以的最大值为,解得.19.(1)高二(10)班元旦晚会有2个唱歌节目a和b;2个相声节目c和d.要求排出一个节目单,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目,列出所有可能的排列.(2)甲乙丙丁戊已庚7个人排成一排拍照片,若要求甲、乙、丙3人必须相邻,并且丁和戊不相邻,有多少种不同排法?(结果用数字表示)(3)从4名男教师和5名女教师中选出4名教师参加新教材培训,要求有男有女且至少有2名男教师参加,有多少种不同的选法?(结果用数字表示)【答案】(1),bcda,bdca;(2)432;(3)80【解析】【分析】(1)利用排列的定义即得;(2)利用捆绑法,插空法即得; (3)由题可分选2名男教师与2名女教师,选3名男教师与1名女教师两类,即得.【详解】(1)歌唱节目记为a,b,相声节目记为c,d,满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为:,bcda,bdca.(2)甲乙丙3人必须相邻,把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列,然后排其内部顺序,再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊,故甲、乙、丙3人必须相邻,并且丁和戊不相邻,共有种排法.(3)选2名男教师与2名女教师,共有种选法;选3名男教师与1名女教师,共有种选法,所以共有种选法.20.如图所示,AB为沿海岸的高速路,海岛上码头O离高速路最近点B的距离是120km,在距离B点300km的A处有一批药品要尽快送达海岛.现要用海陆联运的方式运送这批药品,设登船点C到B的距离为x,已知汽车速度为100km/h,快艇速度为50km/h.(参考数据:.)(1)写出运输时间关于x的函数;(2)当C选在何处时运输时间最短?【答案】(1)(2)当点C选在距B点68km时运输时间最短【解析】【分析】(1)由题意知,OB⊥AB,可求得OC,AC,进而得出;(2)求出的导数,结合函数的单调性求得结果.【小问1详解】 由题意知,OB⊥AB,则,∴【小问2详解】,令,得,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以时,取最小值.所以当点C选在距B点68km时运输时间最短.21.已知数列的前n项和为,当时,;数列中,.直线经过点.(1)求数列的通项公式和;(2)设,求数列的前n项和,并求的最大整数n.【答案】(1),(2),7【解析】【分析】(1)根据之间的递推关系,可写出。,采用和相减得方法,可求得,由题意可推得为等差数列,利用等差数列的通项公式可求得答案; (2)写出的表达式,利用错位相减法可求得数列的前n项和,进而利用数列的单调性求的最大整数n.【小问1详解】∵,∴,则,∴,即,得.又,∴,即,可得数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,则;∵点在直线上,∴,∴,即数列是等差数列,又,∴;【小问2详解】∵,∴,∴,∴,两式相减可得:,∴设,则,故,是单调递增的故当时,单调递增的,当时,;当时,,故满足的最大整数. 22.设函数(1)求的单调区间(2)若,k为整数,且当时,求k的最大值【答案】(1)答案见解析(2)2【解析】【分析】(1)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母,故应按照的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间.(2)由题设条件结合(1),将不等式成立转化为,由此将转化为求在给定区间的最值问题.【小问1详解】函数的定义域是,,当时,,所以函数在上单调递增,当时,时,,当,所以,函数在上单调递减,在上单调递增.【小问2详解】由于,所以,故当,,等价于令,①则,由(1)可知,当时,函数在上单调递增,而,所以在存在唯一零点,故在存在唯一零点,设此零点为,则有,当时,,当时,,所以在上的最小时为,又由,可得, 所以,由于①等价于,故整数的最大值为2.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-05-21 14:33:13 页数:18
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文章作者:随遇而安

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