四川省 2023届高考理科数学热身试题（Word版附解析）

成都七中高2023届高考热身试题数学（理科）2023.6本试卷分选择题和非选择题两部分．第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为，又，所以.故选：C2.在统计学中，月度同比是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是我国2022年1月至2022年12月居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法正确的是（） A.在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为0.9%B.在这12个月中，我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.4%C.在这12个月中，我国居民消费价格最低是5月D.在这12个月中，我国居民消费价格最高是10月【答案】D【解析】【分析】根据统计图分别求出消费同比数据，求出月度环比数据的众数，即可得答案．【详解】在这12个月中，我国居民消费价格月度同比数据的众数为2.1%，A错；我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%，B错；根据环比数据知：我国居民消费价格最低是1月，我国居民消费价格最高是10月，C错，D对.故选:D.3.实数a，b满足，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数的性即可判定C.【详解】取,满足,但,所以A错误；取,满足,但，所以B错误；若，则,,所以C正确；取,则,所以D错误.故选:C. 4.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据祖暅原理，判断“”与“”之间的逻辑推理关系即可.【详解】根据祖暅原理可知，当时，一定有成立，反之，当成立时，不一定有成立，比如两个完全相同的三棱锥，正置和倒置时，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分条件.故选：B5.已知向量，，且．则的值为（）A.B.0C.D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据向量共线得到，利用二倍角正弦公式得到，再根据平方关系计算可得.【详解】因为，，且,所以，即，即，因为，所以， 所以，又，所以.故选：C6.设是等比数列，且，，则（）A.8B.-8C.4D.-4【答案】B【解析】【分析】根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解.【详解】设等比数列的公比为，则，解得：，，所以.故选：B7.已知两个平面，，及两条直线，．则下列命题错误的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，是异面直线，，，，，则【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的性质定理判断A，根据线面垂直的性质判断B，根据面面的位置关系判断C，根据面面平行的判定定理及异面直线的概念判断D.【详解】对于A，若，，，，根据面面垂直的性质定理可得，A正确；对于B，若，，则，又，则，B正确；对于C，若，，，，则与可以相交或平行，C错误；对于D，因为，，所以存在直线，，因为，是异面直线，所以与相交，因为，，，所以，又因为，，所以，D正确，故选：C 8.已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.【详解】因为，可得，即，由图可知：点A为减区间的对称中心，令，解得，取，则，即，可得，因为点A为线段CD的中点，则，所以.故选：B.9.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170 ，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于1000的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】所拨数字共有，所拨数字大于1000包含两种:①上珠拨的是千位档，②上珠拨不是千位档，这两种情况进行分析求解，由此能求出所拨数字大于1000的概率．【详解】依题意得所拨数字共有种可能，要使所拨数字大于1000，则：①上珠拨的是千位档,则所拨数字一定大于1000，有种;②上珠拨不是千位档,则再随机选择两个档位必有千分位,有种,则所拨数字大于1000的概率为.故选:D.10.设、是椭圆左、右焦点，点P是直线上一点，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意方程求得，设，利用倾斜角的概念以及两角差的正切公式，基本不等式，正切函数的性质即可求解.【详解】由题意得：，则，所以. 因为点P是直线上一点，不妨设,设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则，，于是，当且仅当时等号成立，因为在上单调递增，所以的最大值是.故选:A.11.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（）（单位：万元）参考数据：A.2.438B.19.9C.22.3D.24.3【答案】C【解析】【分析】复利计息问题，逐年分析寻找规律，根据等比数列的求和公式即可求解.【详解】由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为万元，2032年存的2万元共存了1年，本息和为万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回， 他可取回的钱数约为万元，故选：C.12.如图，球的半径为，球面上的三个点，，的外接圆为圆，且，则三棱锥的体积最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设圆的半径为，即可表示、，从而得到，再利用均值不等式求出的最大值，即可得解.【详解】设圆的半径为，则，又，所以，所以，又，所以，所以，，所以 ，当且仅当或时取等号，所以三棱锥的体积最大值是.故选：A【点睛】关键点睛：本题解答的关键是通过三角关系表示出，再利用三元均值不等式求出的最大值.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上．13.已知复数满足，则__________.【答案】5【解析】【分析】设，，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得、，即可求出，从而得解.【详解】设，，则，因为，所以，所以，所以，即，所以.故答案为：14.已知变量满足约束条件，则的最大值__________.【答案】5【解析】 【分析】作出可行域,设，根据的几何意义，求得的最小值和最大值，进而得到的最大值.【详解】作出可行域，如图，令，可得，令，可得，设，则直线过点时，取最小值，过点时，取最大值，因此的最大值是5.故答案为:5.15.某地铁换乘站设有编号为，，，的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需时间如下表：安全出口编号，，，，疏散乘客用时（秒）120140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号为______．【答案】【解析】【分析】由题意可得同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口的用时间比较可得比快，若同时开放，两个安全出口和同时开放，两个安全出口所用时间比较可得比快，从而可得结论.【详解】同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为， 同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为，得比快；同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为，同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为，得比快，同时开放，两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为，同时开放，两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为，得比快，综上所述：疏散乘客用时最短的一个安全出口的编号是.故答案为：16.等比数列的公比为，其前n项和为，且，．若仍为等比数列，则______．【答案】【解析】【分析】由题意求得，再由等比数列的前n项和公式求出，进而求得，因为仍为等比数列，则，代入求解即可得出答案.【详解】由得：，则，所以，又，所以，又，所以，所以，因为，，，所以，解得：，当时，是等比数列.故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）求角C的大小；（2）已知，的面积为6，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变形，求角的值；（2）首先根据面积公式求，再根据余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【小问1详解】即，则,且，则；，小问2详解】，所以，根据余弦定理可知，,即，根据正弦定理，，即，解得：.18.如图，在正六棱柱中，，，分别为，的中点. （1）证明：，，，四点共面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据证明线线平行证明四点共面即可；（2）空间向量法求面面角余弦值，再根据同角三角函数关系求正弦值即得.【小问1详解】取的中点，连接,又为的中点，再结合正六棱柱的性质易得：，且,四边形平行四边形，，又均为对应棱的中点，，，，，四点共面；【小问2详解】 根据正六棱柱的性质可得：两两相互垂直，分别以直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间坐标系，则根据题意可得：,,根据正六棱柱的性质知平面的法向量,设平面的法向量为,则,令，则,设平面与平面所成角平面与平面所成角的余弦值为：所以平面与平面所成角的正弦值为19.环保部门随机调查了某市2022年中100天中每天的空气质量等级和当天到江边绿道锻炼的人次，整理数据得到下表（单位天）：锻炼人次空气质量等级1（优）61025 2（良）910123（轻度污染）7874（中度污染)321若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．（1）估计该市2022年（365天）“空气质量好”的天数（结果四舍五入保留整数）；（2）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次人次空气质量好空气质量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【答案】（1）天（2）列联表见解析，没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【解析】【分析】（1）由频数分布表得到空气质量等级为或的概率，从而得到“空气质量好”的概率，即可估计天数；（2）根据题干数据完善列联表，计算出卡方，即可判断.小问1详解】依题意可得，该市一天的空气质量等级为的概率为，等级为的概率为，所以“空气质量好”的概率为， 所以该市年（天）“空气质量好”的天数为（天）.【小问2详解】依题意列联表如下所示：人次人次空气质量好空气质量不好所以，因此没有的把握认为一天中到江边绿道锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．20.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过l右侧的点P作，垂足为M，且．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点的动直线交轨迹C于S，T．证明：以线段为直径的圆过定点．【答案】（1）；（2）以线段为直径的圆过定点，证明见解析.【解析】【分析】（1）设点，因为,所以，化简可得点的轨迹的方程；（2）设直线，与轨迹的方程联立，以线段为直径的圆的方程为，结合韦达定理化简得，由的任意性即可得证.【小问1详解】设点，因为, 所以，化简得，所以轨迹的方程为.【小问2详解】设直线，联立得,,从而，于是,.以线段为直径的圆的方程为,即，所以.由对称性知定点在轴上,令得，于是，由的任意性,所以，解得.所以以线段为直径的圆过定点为.21.已知函数有两个极值点． （1）求实数a的取值范围；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，结合函数的零点的个数，求出的范围即可；（2）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明不等式.【小问1详解】由题意可得有两个两侧异号的零点，又,于是.令,则,令,则，当时,,于是,所以在上单调递减且.当时,,在上单调递增,又,所以当时,,,在上单调递减.当时,,,在上单调递增.又且时,.且时,.所以，所以实数的取值范围为.【小问2详解】因为,所以. 于是，从而.下面证明，即证明.令,即证明，即证明.令,则，当且仅当时等号成立，所以恒成立.所以在上单调递增,所以.从而，所以，于.由（1）知,,从而.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的标号涂黑．选修4-4：坐标系与参数方程22.如图所示形如花瓣的曲线称为四叶玫瑰线，在极坐标系中，其极坐标方程为．（1）若射线与相交于异于极点的点，求； （2）若为上的两点，且，求面积的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）联立曲线与射线极坐标方程可得答案；（2）设,,，由题结合可得及表达式，后利用二倍角公式可得答案．【小问1详解】联立曲线与射线极坐标方程可得:,即.【小问2详解】设,,,由题结合,可得,.则，当,即时,最大值为，所以面积的最大值为.选修4-5：不等式选讲23.已知函数的最大值为1．（1）求的值；（2）求证：． 【答案】（1）1；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式的性质求解函数的最小值的表达式即可；（2）利用柯西不等式即可.【小问1详解】∵的最大值为1，∴，当且仅当时取等号，∴.【小问2详解】，当且仅当取等号.所以.